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Hey, ich lese grade das Buch Funktionalanalysis von Werner und habe eine Frage zu einem Beweis. Es wird gezeigt, dass [mm] (l^{\infty}(T)(, \parallel.\parallel_\infty) [/mm] ) ein Banachraum ist (T sei eine Menge).
[mm] l^{\infty} [/mm] ist der Vektorraum aller beschränkten Folgen von T nach K, K kann [mm] \IR [/mm] oder auch [mm] \IC [/mm] sein und [mm] \parallel.\parallel_\infty=sup_(t \in [/mm] T)|x(t)| ist die Supremumsnorm.
Als erstes wird gezeigt, dass es auch wirklich eine Norm ist.
Für die Vollständigkeit soll ja gezeigt werden, dass der Grenzwert drin liegt, also x [mm] \in l^{\infty}(T) [/mm] mit [mm] \parallel x_n [/mm] -x [mm] \parallel_\infty [/mm] -> 0 .
Und jetzt gleich zu Anfang kommt leider etwas, was ich nicht verstehe (Davon abgesehen, dass ich Vollständigkeit zeigen leider nicht selbst könnte): Man soll die Ungleichung [mm] |y(t)|\le \parallel y\parallel_\infty [/mm] für alle t [mm] \in [/mm] T und y [mm] \in l^{\infty}(T) [/mm] beachten. (Und das was nun kommt, verstehe ich nicht:) Sie impliziert, dass bei beliebigen t [mm] \in [/mm] T die Zahlenfolge [mm] (x_n(t)) [/mm] eine Cauchyfolge ist, die auf Grund der Vollständigkeit des Skalarenkörpers eines Limes bestitzt, den wir mit x(t) bezeichnen.
Wieso impliziert sie das ^^? Ist das, weil y im Betrag nicht von n abhängt? Und welcher Skalarenkörper, der vollständig sein soll?
Als nächstes wird im gezeigt, dass x beschränkt ist und [mm] x_n [/mm] bzgl. der Supremumsnorm gegen x konvergiert. .. (Das ist dann wieder okay)
kann mir das jemand erklären? Wäre wirklich sehr dankbar!
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:15 Di 17.04.2012 | | Autor: | Helbig |
Hi,
> Hey, ich lese grade das Buch Funktionalanalysis von Werner
> und habe eine Frage zu einem Beweis. Es wird gezeigt, dass
> [mm](l^{\infty}(T)(, \parallel.\parallel_\infty)[/mm] ) ein
> Banachraum ist (T sei eine Menge).
> [mm]l^{\infty}[/mm] ist der Vektorraum aller beschränkten Folgen
Dies ist nicht der Vektorraum der beschränkten Folgen sondern der beschränkten Funktionen [mm] $T\to [/mm] K$.
> von T nach K, K kann [mm]\IR[/mm] oder auch [mm]\IC[/mm] sein und
> [mm]\parallel.\parallel_\infty=sup_(t \in[/mm] T)|x(t)| ist die
> Supremumsnorm.
> Als erstes wird gezeigt, dass es auch wirklich eine Norm
> ist.
> Für die Vollständigkeit soll ja gezeigt werden, dass der
> Grenzwert drin liegt, also x [mm]\in l^{\infty}(T)[/mm] mit
> [mm]\parallel x_n[/mm] -x [mm]\parallel_\infty[/mm] -> 0 .
Nein! Wir haben eine Cauchyfolge [mm] $(x_n)$ [/mm] von Funktionen [mm] $x_n\colon T\to [/mm] K$ und sollen
zeigen, daß es eine beschränkte Funktion [mm] $x\colon T\to [/mm] K$ gibt, mit [mm] $\|x_n-x\|_\infty\to [/mm] 0$ fuer [mm] $n\to\infty$.
[/mm]
> Und jetzt gleich zu Anfang kommt leider etwas, was ich
> nicht verstehe (Davon abgesehen, dass ich Vollständigkeit
> zeigen leider nicht selbst könnte): Man soll die
> Ungleichung [mm]|y(t)|\le \parallel y\parallel_\infty[/mm] für alle
> t [mm]\in[/mm] T und y [mm]\in l^{\infty}(T)[/mm] beachten. (Und das was nun
> kommt, verstehe ich nicht:) Sie impliziert, dass bei
> beliebigen t [mm]\in[/mm] T die Zahlenfolge [mm](x_n(t))[/mm] eine
> Cauchyfolge ist, die auf Grund der Vollständigkeit des
> Skalarenkörpers eines Limes bestitzt, den wir mit x(t)
> bezeichnen.
> Wieso impliziert sie das ^^? Ist das, weil y im Betrag
> nicht von n abhängt? Und welcher Skalarenkörper, der
> vollständig sein soll?
Der Skalarkörper ist $ K $, also [mm] $\IR$ [/mm] oder [mm] $\IC$. [/mm] Beide sind vollständig.
Mit dem Tip folgt, daß für jedes [mm] $t\in [/mm] T$ die Folge [mm] $(x_n(t))$ [/mm] eine Cauchyfolge in $ K $ ist und als solche gegen einen Grenzwert konvergiert, den wir $x(t)$ nennen. Damit haben wir die Funktion $x$ als punktweisen Limes der Funktionenfolge [mm] $(x_n)$ [/mm] definiert.
> Als nächstes wird im gezeigt, dass x beschränkt ist und
> [mm]x_n[/mm] bzgl. der Supremumsnorm gegen x konvergiert. .. (Das
> ist dann wieder okay)
> kann mir das jemand erklären? Wäre wirklich sehr
> dankbar!
Hilft das schon mal?
Wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:09 Do 19.04.2012 | | Autor: | Schachtel5 |
Oh man ich bin manchmal ein wenig dusselig, habs nun verstanden, vielen Dank euch beiden hat mir wirklich geholfen!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:31 Mi 18.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hey, ich lese grade das Buch Funktionalanalysis von Werner
> und habe eine Frage zu einem Beweis. Es wird gezeigt, dass
> [mm](l^{\infty}(T)(, \parallel.\parallel_\infty)[/mm] ) ein
> Banachraum ist (T sei eine Menge).
> [mm]l^{\infty}[/mm] ist der Vektorraum aller beschränkten Folgen
> von T nach K, K kann [mm]\IR[/mm] oder auch [mm]\IC[/mm] sein und
> [mm]\parallel.\parallel_\infty=sup_(t \in[/mm] T)|x(t)| ist die
> Supremumsnorm.
> Als erstes wird gezeigt, dass es auch wirklich eine Norm
> ist.
> Für die Vollständigkeit soll ja gezeigt werden, dass der
> Grenzwert drin liegt, also x [mm]\in l^{\infty}(T)[/mm] mit
> [mm]\parallel x_n[/mm] -x [mm]\parallel_\infty[/mm] -> 0 .
> Und jetzt gleich zu Anfang kommt leider etwas, was ich
> nicht verstehe (Davon abgesehen, dass ich Vollständigkeit
> zeigen leider nicht selbst könnte): Man soll die
> Ungleichung [mm]|y(t)|\le \parallel y\parallel_\infty[/mm] für alle
> t [mm]\in[/mm] T und y [mm]\in l^{\infty}(T)[/mm] beachten. (Und das was nun
> kommt, verstehe ich nicht:) Sie impliziert, dass bei
> beliebigen t [mm]\in[/mm] T die Zahlenfolge [mm](x_n(t))[/mm] eine
> Cauchyfolge ist, die auf Grund der Vollständigkeit des
> Skalarenkörpers eines Limes bestitzt, den wir mit x(t)
> bezeichnen.
> Wieso impliziert sie das ^^?
Für y [mm] \in l^{\infty}(T) [/mm] ist:
(*) $|y(t)| [mm] \le ||y||_{\infty} [/mm] $ für jedes t [mm] \in [/mm] T
Das dürfte klar sein. Ist nun [mm] (x_n) [/mm] eine Cauchyfolge aus [mm] l^{\infty}(T), [/mm] so folgt aus (*=
(**) [mm] $|x_n(t)-x_m(t)| \le ||x_n-x_m||_{\infty} [/mm] $ für jedes t [mm] \in [/mm] T.
Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0. Dann gibt es ein N [mm] \in \IN [/mm] mit:
[mm] ||x_n-x_m||_{\infty} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für n,m > N.
Ist nun t [mm] \in [/mm] T, so folgt damit aus (**), dass
[mm] |x_n(t)-x_m(t)| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für n.m> N
ist.
Damit ist [mm] (x_n(t)) [/mm] eine Cauchyfolge in K.
FRED
> Ist das, weil y im Betrag
> nicht von n abhängt? Und welcher Skalarenkörper, der
> vollständig sein soll?
> Als nächstes wird im gezeigt, dass x beschränkt ist und
> [mm]x_n[/mm] bzgl. der Supremumsnorm gegen x konvergiert. .. (Das
> ist dann wieder okay)
> kann mir das jemand erklären? Wäre wirklich sehr
> dankbar!
> LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:11 Do 19.04.2012 | | Autor: | Schachtel5 |
Huch die 1. Mitteilung ist auf beide bezogen, danke euch beiden!! habs nun verstanden.
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