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| Aufgabe | Sei [mm] $(Y,\tau)$ [/mm] ein topologischer Raum mit [mm] $Y\neq\emptyset$ [/mm] und $(X,d)$ ein metr. Raum. Wir definieren
[mm] $C_b(Y,X)=\{f:Y\to X|f\quad\text{stetig und beschränkt}\}$
[/mm]
und [mm] $D(f,g)=sup_{y\in Y} [/mm] d(f(y),g(y))$ die Metrik auf [mm] $C_b(Y,X)$.
[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] $C_b(Y,X)$ [/mm] genau dann vollständig ist, wenn $X$ vollständig ist. |
Hallo,
ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.
Mein Beweis geht wie folgt:
[mm] "$\Rightarrow$"
[/mm]
Sei [mm] $C_b(Y,X)$ [/mm] ein vollständiger metrischer Raum, und sei [mm] $(f_i(y))_{i\in\mathbb{N}}$ [/mm] eine Cauchyfolge in $X$.
Dann existiert für alle [mm] $\epsilon>0$ [/mm] ein [mm] $N\in\mathbb{N}$ [/mm] so, dass [mm] $d(f_n(y),f_m(y))<\epsilon$ [/mm] für alle $m,n>N$.
Da [mm] $C_b(Y,X)$ [/mm] vollständig, und [mm] $D(f_m,f_n)=sup_{y\in Y} d(f_m(y),f_n(y))<\epsilon$, [/mm] existiert ein [mm] $f\in C_b(Y,X)$ [/mm] mit [mm] $f_i\to [/mm] f$.
Also [mm] $D(f_i,f)<\epsilon\Rightarrow d(f_i(y), f(y))<\epsilon$.
[/mm]
Also konvergiert [mm] $f_i(y)\to [/mm] f(y)$ in $X$.
Die Rückrichtung geht analog:
[mm] "$\Leftarrow$"
[/mm]
Sei $X$ ein vollständiger metrischer Raum und sei [mm] $(f_i)_{i\in\mathbb{N}}$ [/mm] eine Cauchyfolge in [mm] $C_b(Y,X)$.
[/mm]
Dann existiert für alle [mm] $\epsilon>0$ [/mm] ein [mm] $N\in\mathbb{N}$ [/mm] so, dass [mm] $D(f_n,f_m)<\epsilon$ [/mm] für alle $m,n> N$.
Da $X$ vollständig ist und [mm] $d(f_m(y),f_n(y))\leq sup_{y\in Y} d(f_m(y),f_n(y))=D(f_m,f_n)<\epsilon$ [/mm] existiert ein [mm] $f(y)\in [/mm] X$ mit [mm] $f_i(y)\to [/mm] f(y)$.
Also [mm] $d(f_i(y), f(y))<\epsilon\Rightarrow D(f_i,f)<\epsilon$.
[/mm]
Somit konvergiert [mm] $f_i\to [/mm] f$ in [mm] $C_b(Y,X)$.
[/mm]
Ist der Beweis so in Ordnung?
Vielen Dank im voraus.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:37 Do 20.10.2016 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm](Y,\tau)[/mm] ein topologischer Raum mit [mm]Y\neq\emptyset[/mm] und
> [mm](X,d)[/mm] ein metr. Raum. Wir definieren
>
> [mm]C_b(Y,X)=\{f:Y\to X|f\quad\text{stetig und beschränkt}\}[/mm]
>
> und [mm]D(f,g)=sup_{y\in Y} d(f(y),g(y))[/mm] die Metrik auf
> [mm]C_b(Y,X)[/mm].
>
> Zeigen Sie, dass [mm]C_b(Y,X)[/mm] genau dann vollständig ist, wenn
> [mm]X[/mm] vollständig ist.
> Hallo,
>
> ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.
> Mein Beweis geht wie folgt:
>
> "[mm]\Rightarrow[/mm]"
>
> Sei [mm]C_b(Y,X)[/mm] ein vollständiger metrischer Raum, und sei
> [mm](f_i(y))_{i\in\mathbb{N}}[/mm] eine Cauchyfolge in [mm]X[/mm].
hä? komisch. woher kommen denn die [mm] f_i, [/mm] was ist y ?? Du musst eine beliebige Cauchy-Folge in X hernehmen.
> Dann existiert für alle [mm]\epsilon>0[/mm] ein [mm]N\in\mathbb{N}[/mm] so,
> dass [mm]d(f_n(y),f_m(y))<\epsilon[/mm] für alle [mm]m,n>N[/mm].
>
> Da [mm]C_b(Y,X)[/mm] vollständig, und [mm]D(f_m,f_n)=sup_{y\in Y} d(f_m(y),f_n(y))<\epsilon[/mm],
> existiert ein [mm]f\in C_b(Y,X)[/mm] mit [mm]f_i\to f[/mm].
> Also
> [mm]D(f_i,f)<\epsilon\Rightarrow d(f_i(y), f(y))<\epsilon[/mm].
>
> Also konvergiert [mm]f_i(y)\to f(y)[/mm] in [mm]X[/mm].
>
> Die Rückrichtung geht analog:
>
> "[mm]\Leftarrow[/mm]"
>
> Sei [mm]X[/mm] ein vollständiger metrischer Raum und sei
> [mm](f_i)_{i\in\mathbb{N}}[/mm] eine Cauchyfolge in [mm]C_b(Y,X)[/mm].
> Dann existiert für alle [mm]\epsilon>0[/mm] ein [mm]N\in\mathbb{N}[/mm] so,
> dass [mm]D(f_n,f_m)<\epsilon[/mm] für alle [mm]m,n> N[/mm].
>
> Da [mm]X[/mm] vollständig ist und [mm]d(f_m(y),f_n(y))\leq sup_{y\in Y} d(f_m(y),f_n(y))=D(f_m,f_n)<\epsilon[/mm]
> existiert ein [mm]f(y)\in X[/mm] mit [mm]f_i(y)\to f(y)[/mm].
> Also [mm]d(f_i(y), f(y))<\epsilon\Rightarrow D(f_i,f)<\epsilon[/mm].
>
> Somit konvergiert [mm]f_i\to f[/mm] in [mm]C_b(Y,X)[/mm].
>
>
> Ist der Beweis so in Ordnung?
der erste teil war quark
der zweite Teil ist o.k.
>
> Vielen Dank im voraus.
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Dann noch einmal zum ersten Teil:
Sei [mm] $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ [/mm] eine beliebige Cauchyfolge in $X$.
[mm] $\forall\epsilon>0\exists N\in\mathbb{N}$ [/mm] so, dass [mm] $\forall m,n>\mathbb{N}: d(x_n,x_m)<\epsilon$.
[/mm]
Sei [mm] $f_n(y)=x_n$ [/mm] für alle [mm] $y\in [/mm] Y$.
Dann ist [mm] $d(x_m,x_n)\leq sup_{y\in Y} d(f_m(y),f_n(y))=D(f_m,f_n)$
[/mm]
Da [mm] $C_b(Y,X)$ [/mm] vollständig ist, gibt es ein [mm] $f\in C_b(Y,X)$ [/mm] mit [mm] $f_i(y)\to [/mm] f(y)$ und [mm] $D(f_n, f)<\epsilon$.
[/mm]
Ich komme aber irgendwie nicht weiter...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:31 Sa 22.10.2016 | | Autor: | Helbig |
Hallo,
beachte, dass $f$ eine konstante Funktion ist. Die Folge der [mm] $x_i$ [/mm] konvergiert gegen diesen konstanten Wert von $f$.
OK?
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Leider nein.
Ich weiß nicht, wie ich weiter komme. Auch nicht nach deinem Tipp. :(
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:44 Sa 22.10.2016 | | Autor: | Helbig |
Fuer alle $y$ ist $f(y) = [mm] \lim f_i(y) [/mm] = [mm] \lim x_i$.
[/mm]
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Oh, das heißt also, dass [mm] $x_i\to [/mm] f(y)$ konvergiert.
Also ist $X$ vollständig.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:13 Sa 22.10.2016 | | Autor: | Helbig |
Genau dieses!
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Den Beweis würde ich also nun so beenden:
Sei $ [mm] (x_n)_{n\in\mathbb{N}} [/mm] $ eine beliebige Cauchyfolge in $ X $.
$ [mm] \forall\epsilon>0\exists N\in\mathbb{N} [/mm] $ so, dass $ [mm] \forall m,n>\mathbb{N}: d(x_n,x_m)<\epsilon [/mm] $.
Sei $ [mm] f_n(y)=x_n [/mm] $ für alle $ [mm] y\in [/mm] Y $.
Dann ist $ [mm] d(x_m,x_n)\leq sup_{y\in Y} d(f_m(y),f_n(y))=D(f_m,f_n) [/mm] $
Da $ [mm] C_b(Y,X) [/mm] $ vollständig ist, gibt es ein $ [mm] f\in C_b(Y,X) [/mm] $ mit $ [mm] f_i(y)\to [/mm] f(y) $ und $ [mm] D(f_n, f)<\epsilon [/mm] $.
Also [mm] $f_n\to [/mm] f$. Wegen [mm] $f(y)=\lim f_n(y)=\lim x_n$, [/mm] gilt also [mm] $x_n\to [/mm] f(y)$.
Somit hat jede Cauchyfolge in $X$ einen Grenzwert, und $X$ ist damit vollständig.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:21 So 23.10.2016 | | Autor: | tobit09 |
> Den Beweis würde ich also nun so beenden:
>
> Sei [mm](x_n)_{n\in\mathbb{N}}[/mm] eine beliebige Cauchyfolge in [mm]X [/mm].
> [mm]\forall\epsilon>0\exists N\in\mathbb{N}[/mm] so, dass [mm]\forall m,n>\mathbb{N}: d(x_n,x_m)<\epsilon [/mm].
Guter Start.
> Sei [mm]f_n(y)=x_n[/mm] für alle [mm]y\in Y [/mm].
Ausführlicher: Wir definieren für jedes [mm] $n\in\IN$ [/mm] eine Abbildung [mm] $f_n\colon Y\to [/mm] X$ durch [mm] $f_n(y):=x_n$ [/mm] für alle [mm] $y\in [/mm] Y$.
Für jedes [mm] $n\in\IN$ [/mm] gilt dann: [mm] $f_n$ [/mm] ist eine konstante Abbildung, insbesondere ist [mm] $f_n$ [/mm] stetig und beschränkt, also [mm] $f_n\in C_b(Y,X)$.
[/mm]
Nun wollen wir zeigen, dass die Folge [mm] $(f_n)_{n\in\IN}$ [/mm] eine Cauchyfolge in [mm] $C_b(Y,X)$ [/mm] ist.
> Dann ist [mm]d(x_m,x_n)\leq sup_{y\in Y} d(f_m(y),f_n(y))=D(f_m,f_n)[/mm]
... für alle [mm] $n,m\in\IN$.
[/mm]
Nicht falsch, aber das hilft uns nicht weiter für den Nachweis, dass [mm] $(f_n)_{n\in\IN}$ [/mm] eine Cauchyfolge in [mm] $C_b(Y,X)$ [/mm] ist.
Vielmehr benötigen wir die umgekehrte Ungleichung [mm] $D(f_m,f_n)\le d(x_m,x_n)$, [/mm] die aber glücklicherweise auch für alle [mm] $m,n\in\IN$ [/mm] gilt.
> Da [mm]C_b(Y,X)[/mm] vollständig ist, gibt es ein [mm]f\in C_b(Y,X)[/mm] mit
> [mm]f_i(y)\to f(y)[/mm] und [mm]D(f_n, f)<\epsilon [/mm].
> Also [mm]f_n\to f[/mm].
Zunächst einmal gibt es wegen der Vollständigkeit von [mm] $C_b(Y,X)$ [/mm] ein [mm] $f\in C_b(Y,X)$ [/mm] mit [mm] $f_n\to [/mm] f$ für [mm] $n\to\infty$.
[/mm]
Dann kann man sich überlegen, dass für jedes [mm] $y\in [/mm] Y$ auch [mm] $f_n(y)\to [/mm] f(y)$ für [mm] $n\to\infty$ [/mm] folgt.
> Wegen [mm]f(y)=\lim f_n(y)=\lim x_n[/mm], gilt also
> [mm]x_n\to f(y)[/mm].
Was für ein y nimmst du hier?
Glücklicherweise ist Y als nichtleer vorausgesetzt, so dass tatsächlich ein [mm] $y\in [/mm] Y$ existiert, mithilfe dessen du so schließen kannst.
> Somit hat jede Cauchyfolge in [mm]X[/mm] einen
> Grenzwert, und [mm]X[/mm] ist damit vollständig.
Ja.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:42 Fr 21.10.2016 | | Autor: | tobit09 |
Hallo impliziteFunktion!
Vorweg: Ich möchte mich im Moment nicht ausführlich mit dieser Aufgabe beschäftigen und weise daher nur auf Probleme hin, ohne sie selbst zu lösen.
> Die Rückrichtung geht analog:
>
> "[mm]\Leftarrow[/mm]"
>
> Sei [mm]X[/mm] ein vollständiger metrischer Raum und sei
> [mm](f_i)_{i\in\mathbb{N}}[/mm] eine Cauchyfolge in [mm]C_b(Y,X)[/mm].
> Dann existiert für alle [mm]\epsilon>0[/mm] ein [mm]N\in\mathbb{N}[/mm] so,
> dass [mm]D(f_n,f_m)<\epsilon[/mm] für alle [mm]m,n> N[/mm].
>
> Da [mm]X[/mm] vollständig ist und [mm]d(f_m(y),f_n(y))\leq sup_{y\in Y} d(f_m(y),f_n(y))=D(f_m,f_n)<\epsilon[/mm]
> existiert ein [mm]f(y)\in X[/mm] mit [mm]f_i(y)\to f(y)[/mm].
Damit ist [mm] $f\colon Y\to [/mm] X$ konstruiert. Warum gilt [mm] $f\in C_b(Y,X)$, [/mm] also warum ist f beschränkt und stetig?
> Also [mm]d(f_i(y), f(y))<\epsilon\Rightarrow D(f_i,f)<\epsilon[/mm].
Genauer formuliert meinst du offenbar:
Zu jedem [mm] $y\in [/mm] Y$ und zu jedem [mm] $\epsilon>0$ [/mm] existiert ein [mm] $I_{\epsilon,y}\in\IN$ [/mm] mit [mm] $d(f_i(y),f(y))<\epsilon$ [/mm] für alle [mm] $i\ge I_{\epsilon,y}$.
[/mm]
Nun behauptest du, dass für alle [mm] $\epsilon>0$ [/mm] ein [mm] $I_\epsilon\in\IN$ [/mm] existiert mit [mm] $D(f_i,f)<\epsilon$ [/mm] für alle [mm] $i\ge I_\epsilon$.
[/mm]
Sei also [mm] $\epsilon>0$ [/mm] vorgegeben. Warum gibt es dann ein solches [mm] $I_\epsilon$?
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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