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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:43 Mo 17.05.2004 | | Autor: | ankiza |
Die Aufgabe lautet wie folgt:
Es sei [mm]p\in\IN,p\ge2[/mm], und [mm]M :=\{{n\br p^m}:m,n\in\IN \}[/mm].
Zeige: Zu beliebigen [mm]a,b\in\IR\[/mm] mit [mm]0\le a
Ich dachte nun ich könnte zeigen, dass jede(positive) rationale Zahl durch Kürzen darstellbar ist als [mm] n/p^m [/mm] und dann wäre nur zu zeigen, dass a< n/p <b. Das scheint aber nicht zu gehen, wer bringt mich auf den Weg? Lg, Julia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:13 Mo 17.05.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo ankiza,
das Problem ist, dass ich nicht genau weiß, welche Axiome ihr verwenden dürft.
Erst einmal: Ich nehme an, $M$ ist eine Menge, deren Elemente die Form wie dein $M$ haben. Stimmt das?
Der erste Schritt sollte auf jeden Fall aus der Anwendung des Archimedischen Axioms bestehen:
Für $b-a>0$ gibt es ein [mm] $n_0 \in \IN$ [/mm] mit
[mm] $\frac{1}{n_0} [/mm] < b-a$.
Nun könnte man verwenden (ich weiß nicht, ob ihr das dürft), dass es zu jeder natürlichen Zahl [mm] $n_0$ [/mm] eine Primzahlpotenz [mm] $p^m$ [/mm] gibt mit
[mm] $p^m [/mm] > [mm] n_0$.
[/mm]
Daraus folgt:
$1 < [mm] p^m \cdot [/mm] (b-a) = [mm] p^m [/mm] b - [mm] p^m [/mm] a$.
Wenn aber der Abstand der beiden reellen Zahlen [mm] $p^m [/mm] b$ und [mm] $p^m [/mm] a$ größer als $1$ ist, dann liegt...
Versuche es mal und melde dich bitte wieder. (Aber ohne Gewähr. Vielleicht habe ich Dinge benutzt, die ihr nicht verwenden dürft. Das hängt davon ab, was ihr in der Vorlesung genau gemacht habt.)
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:34 Mo 17.05.2004 | | Autor: | ankiza |
Hallo Stefan, das sieht so aus als ginge das, muss ich aber morgen versuchen. Vielen Dank schon mal, aber wahrscheinlich melde ich mich doch wieder!
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:13 Di 18.05.2004 | | Autor: | ankiza |
Hallo Stefan, da bin ich wieder! Der Ausdruck Primzahlpotenz ist doch etwas heikel ! Kann ich durch die gegebenen Bedingungen : [mm] p\ge2,M =\{{n\br p^m}, m,n\in\IN }[/mm] nicht einfach durch Induktion, vieleicht auch Bernoulli beweisen, dass [mm]p^m\ge n\ ist,\ m\ge n[/mm]. Und dann ist erst recht [mm]1\ kleiner\ als\ p^m(a-b)[/mm].M ist eine Menge und p natürlich eine natürliche Zahl. Der Rest wäre dann einfach, glaub ich. Wäre schön, wenn du heute noch hier auftauchst, ansonsten einen schönen Abend!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:21 Mi 19.05.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Ankiza,
ach so, jetzt verstehe ich die Aufgabe erst.
$p [mm] \in \IN$, [/mm] $p [mm] \ge [/mm] 2$, ist fest vorgegeben.
Ich dachte, man dürfte $p$ auch wählen, d.h. es würde mit zu den "Parametern" der Menge $M$ zählen.
Okay, dann macht das mit der Primzahl keinen Sinn, da gebe ich dir recht.
Deine Idee mit der Bernoulli-Ungleichung ist super! 
Damit haben wir ja jetzt den Beweis:
Es seien $0 [mm] \le [/mm] a < b$ und $p [mm] \in \IN$, [/mm] $p [mm] \ge [/mm] 2$, beliebig gewählt.
Dann ist $b-a>0$, d.h. es gibt nach dem Archimedischen Axiom ein [mm] $n_0 \in \IN$ [/mm] mit
[mm] $\frac{1}{n_0}< [/mm] b-a$.
Nach der Bernoulli-Ungleichung gilt:
[mm] $p^{n_0} [/mm] = (1 + [mm] (p-1))^{n_0} \ge [/mm] 1 + [mm] n_0 \cdot [/mm] (p-1) > [mm] n_0$,
[/mm]
und daher:
$1 < [mm] n_0 \cdot [/mm] (b-a) < [mm] p^{n_0} \cdot(b-a) [/mm] = [mm] p^{n_0} \cdot [/mm] b - [mm] p^{n_0} \cdot [/mm] a$.
Es gibt also ein [mm] $m_0 \in \IN$ [/mm] mit
[mm] $p^{n_0} \cdot [/mm] a < [mm] m_0 [/mm] < [mm] p^{n_0} \cdot [/mm] b$.
Daraus folgt:
Es gibt ein [mm] $\frac{m_0}{p^{n_0}} \in [/mm] M$ mit
$a < [mm] \frac{m_0}{p^{n_0}} [/mm] < b$.
Das müsste doch jetzt stimmen, oder? Was meinst du?
Entschuldige bitte noch einmal meine Blödheit, dass ich die Aufgabe falsch verstanden hatte. :-(
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 21:05 Mi 19.05.2004 | | Autor: | ankiza |
Hallo Stefan,(entschuldige bitte, dass ich die Graphik jetzt nicht benutze, das dauert bei mir immer so lange) - leider habe ich ein neues Problem gefunden: ist p = 2, dann ist [mm] p^m [/mm] > n für alle n>=3. Ich weiss nicht, ob m>=n gilt, aber in einer Folge sollte das doch eigentlich so sein, oder, was meinst du? Vieleicht geht es auch um p-adische Brüche , dann ist jede reelle Zahl als solch ein Bruch darstellbar, und damit als a<x<b. Das mit den adischen Brüchen hatten wir heute erst in der Vorlesung, und eigentlich müsste dann doch auch irgendwo ein Summenzeichen auftauchen? Ach, ich glaub schon, dass die erste Lösung richtig ist, auf jeden Fall hast du mir schon sehr geholfen, überhaupt einen Anfang zu finden! LG, Ankiza
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:19 Mi 19.05.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Ankiza,
also heute ist vielleicht nicht mein Tag (?), aber auch hier verstehe ich die Aufgabenstellung nicht wirklich. Stimmt es, dass folgendes zu zeigen ist:
Für $p=2$ und $m,n [mm] \in \IN$, [/mm] $m [mm] \ge [/mm] n [mm] \ge [/mm] 3$, gilt:
[mm] $p^m [/mm] > n$ ?
Wenn ja, dann ginge das ja wieder mit der Bernoulli-Ungeichung. Versuche das bitte mal.
Dagegen ist klar, dass nicht für alle $p=2$ und alle [mm] $m,n\in \IN$, [/mm] $n [mm] \ge [/mm] 3$
[mm] $p^m [/mm] > n$
gilt.
Vielleicht meldest du dich einfach noch mal un klärst mich auf. (Beziehungsweise lieferst den Beweis über die Bernoulli-Ungleichung.)
Liebe Grüße
Stefan
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