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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:43 Sa 21.10.2006 | | Autor: | Fliege |
| Aufgabe | | Eine Wasserrinne neben einer Straße soll befestigt werden. Dabei soll sie eine oben offene rechteckige Form mit unten angesetzten Halbkreis erhalten. Der Flächeninhalt ihres Querschnitts soll 0,2m² bei möglichst geringem Materialverbrauch ergeben! |
hallo!!!
also ich habe jetzt echt gar keine ahnung, wie ich diese aufgabe berechnen muss...schreibe am mittwoch ne klausur, und bin total verzweifelt, weil es mir keiner erklären kann...
also ich hoffe hier ist jemand, der dazu ne antwort weiss!!!
vielen dank, lg fliege
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:24 Sa 21.10.2006 | | Autor: | hase-hh |
moin,
wenn fliegen hinter fliegen fliegen...
veranschauliche dir doch mal das problem mit einer skizze.
du hast ein rechteck an das ein halbkreis angesetzt ist.
flächeninhalt wäre:
flächeninhalt des rechtecks plus flächeninhalt des halbkreises.
F=a*b + [mm] \pi*r^2 [/mm]
da der halbkreis unten angesetzt ist, ist sein durchmesser = der rechteckseite a. d.h. 2r=a.
= Nebenbedingung
also kann ich einsetzen in F
0,2 = a*b + [mm] \pi*(2r)^2
[/mm]
0,2 = 2r*b [mm] +\pi*4r^2
[/mm]
das löse ich jetzt nach b auf...
das schaffst du allein?!
und dann ist gesucht:
der umfang der figur, den du dann minimieren sollst.
da die rinne oben offen ist und unten durch den halbkreis begrenzt wird, setzt sich dieser zusammen aus:
= Zielfunktion
u= b + b + [mm] \pi*r [/mm]
für b setze ich jetzt die nach b aufgelöste Nebenbedingung ein.
dann erhalte ich eine funktion, die nur noch von r abhängig ist, und die ich dann auf extremstellen untersuchen kann...
kommst du jetzt weiter?
gruss
wolfgang
p.s. ich hab für [mm] r\approx0,234 [/mm] raus. die funktion hat einen gebrochenrationalen anteil, also quotietenregel beachten!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:23 So 22.10.2006 | | Autor: | Fliege |
hallo!!!
also danke erstmal, aber ich weiss nicht genau, wie du auf o,2= a*b+Kreiszahl Pi*(2r)² kommst. warum ist es 2r²????
hoffe du kannst mir weiter helfen!! vielen dank, lg fliege
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:40 So 22.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Zeichne es dir mal auf.
Dann siehst du, das
[mm] A_{Rechteck}=b*a
[/mm]
Jetzt soll der Halbkreis mit dem Durchmesser a (also a=2r) "darunterhängen".
Also [mm] A_{rechteck}=2br
[/mm]
Das heisst aber ausserdem, [mm] A_{Halbkreis}=\bruch{\pi*r²}{2}
[/mm]
Also ist die Gesamtfläche, die ja 0,2m² betragen soll:
[mm] A_{Kanal}=2br+\bruch{\pi*r²}{2}
[/mm]
Jetzt soll ja möglichst wenig Blech benötigt werden.
Für das Rechteck wird 2 mal Blech der Länge b benötigt, als 2b
Für den Halbkreis brauchst du Blech der Länge [mm] \pi*r
[/mm]
Also brauchst du insgesamt
[mm] u(b,r)=2b+\pi*r[/mm] [m] Blech
Wenn du die Fläche jetzt nach b umformst, erhältst du:
[mm] 0,2=2br+\bruch{\pi*r²}{2}
[/mm]
[mm] \gdw b=\bruch{0,1}{r}-\bruch{\pi*r}{4}
[/mm]
Das in u eingesetzt:
[mm] u(r)=2(\bruch{1}{10r}-\bruch{\pi*r}{4})+\pi*r
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{5r}+\bruch{\pi*r}{2}+\pi*r
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{5r}+\bruch{3\pi*r}{2}
[/mm]
Davon sollst du jetzt das Minimum berechnen
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:42 So 22.10.2006 | | Autor: | Fliege |
Hallöchen!!
also warum braucht man denn 2 mal blech der länge b? das versteh ich irgendwie nicht, das rechteck hat doch die seiten a und b, oder?
und für den hlabkreis bauche ich doch dann nur [mm] \pi*r²/2...oder [/mm] ist das das gleiche wie /pi*r?????
du hast am anfang geschrieben A(kanal)= 2br+/pi*r²/2
das verstehe ich überhaupt nicht, vielleicht kannst du mir die buchstaben nochmal genau erläutern!!???
vielen dank, lg fliege
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:50 So 22.10.2006 | | Autor: | Fabbi |
Du brauchst 2 mal Blech der länge b, weil die Formel für den Umfang eines Rechtecks 2*a+2*b ist. Wenn die Länge a= 2cm; b= 3cm ist musst du
2*2+2*3 oder (2+3)*2 rechnen. Verstanden?
Mehr kann ich dir nicht sagen, denn ich bin erst Klasse 7.
Ich hoffe, es stimmt so.
Gruß Fabbi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 So 22.10.2006 | | Autor: | Fliege |
Hallöchen!!
also warum braucht man denn 2 mal blech der länge b? das versteh ich irgendwie nicht, das rechteck hat doch die seiten a und b, oder?
und für den hlabkreis bauche ich doch dann nur [mm] \bruch{\pi*r2}{2}...oder [/mm] ist das das gleiche wie /pi*r?????
du hast am anfang geschrieben A(kanal)= [mm] 2br+\pi*r²/2
[/mm]
das verstehe ich überhaupt nicht, vielleicht kannst du mir die buchstaben nochmal genau erläutern!!???
vielen dank, lg fliege
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:58 So 22.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
Ich gebe dir mal meine Zeichnung dazu, ich hoffe, jetzt wird es deutlicher.
(ich weiss, sie ist sehr gross geraten, aber kleiner will mein Scanner nicht.)
[Dateianhang nicht öffentlich]
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:45 So 22.10.2006 | | Autor: | Fliege |
Hallöchen!!
also warum braucht man denn 2 mal blech der länge b? das versteh ich irgendwie nicht, das rechteck hat doch die seiten a und b, oder?
und für den hlabkreis bauche ich doch dann nur [mm] \bruch{\pi*r2}{2}...oder [/mm] ist das das gleiche wie [mm] \pi*r?????
[/mm]
du hast am anfang geschrieben A(kanal)= [mm] 2br+\pi*r²/2
[/mm]
das verstehe ich überhaupt nicht, vielleicht kannst du mir die buchstaben nochmal genau erläutern!!???
vielen dank, lg fliege
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:46 So 22.10.2006 | | Autor: | Fliege |
Hallöchen!!
also warum braucht man denn 2 mal blech der länge b? das versteh ich irgendwie nicht, das rechteck hat doch die seiten a und b, oder?
und für den hlabkreis bauche ich doch dann nur [mm] \bruch{\pi*r2}{2}...oder [/mm] ist das das gleiche wie [mm] \pi*r [/mm] ?????
du hast am anfang geschrieben A(kanal)= [mm] 2br+\pi*r²/2
[/mm]
das verstehe ich überhaupt nicht, vielleicht kannst du mir die buchstaben nochmal genau erläutern!!???
vielen dank, lg fliege
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:15 So 22.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Fliege
Du bist völlig durcheinander mit den Flächen:
1. Die Rinne hat eine QUERSCHNITTSFLÄCHE die ist [mm] A=\pi*r^2/2 [/mm] +2r*b.
2. Man braucht eine Blechfläche um sie herzustellen.
Wenn sie die Länge L hat ist die Blechfläche L*U, wobei U der Umfang der Querschnittsfläche ist.
Wenn dus aufzeichnest, siehst du, dass der Umfang aus dem halbkreisbogen [mm] \pi*r [/mm] und den 2 Stücken b besteht, die daran angesetzt sind. also U=2*b+ [mm] \pi*r [/mm]
Die Blechfläche ist dann [mm] B=L*(2b+\pi*r [/mm] ) damit das möglichst klein ist, muss U möglichst klein sein. (denn L ist ja zwar unbekannt aber auf jden Fall fest.)
also suchst du das min. von U=2*b+ [mm] \pi*r [/mm] . hier musst du jetzt noch r oder b erstzen , den Zusammenhang rechnest du aus dem gegebenen A=0,2 aus, also aus [mm] 0,2=\pi*r^2/2 [/mm] +2r*b.
Ich hoffe, jetzt ist alls klar, sonst bieg dir ein Stück Papier zu der Rinne und experimentier damit!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:27 So 22.10.2006 | | Autor: | Fliege |
ja, also danke erstmal, weil ich glaube ich bin auf dem weg es zu verstehen.
ein paar fragen habe ich jedoch noch:
1.ist 2r das gleiche wie a?
2.wie muss ich jetzt weiter vorgehen? woher weiss ich denn was jetzt a ist und was b?
vielleicht hat jemand lust mir das mal aufzuschreiben, weil ich ja am mittwoch die klausur schreibe und ich sonst bestimmt ra nix kann!!!
vielen lieben dank, fliege
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:37 So 22.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
> ja, also danke erstmal, weil ich glaube ich bin auf dem weg
> es zu verstehen.
> ein paar fragen habe ich jedoch noch:
> 1.ist 2r das gleiche wie a?
Yep, im Prinzip ist es egal, wie man die Seiten bezeichnet.
> 2.wie muss ich jetzt weiter vorgehen? woher weiss ich denn
> was jetzt a ist und was b?
> vielleicht hat jemand lust mir das mal aufzuschreiben,
> weil ich ja am mittwoch die klausur schreibe und ich sonst
> bestimmt ra nix kann!!!
> vielen lieben dank, fliege
Schau dir dazu mal mein Bild an und die Antwort weiter vorne, ich habe das Bild nach den Angaben meiner Antwort gezeichnet.
Im Prinzip ist es aber immer das gleiche "Spiel". Du hast eine Funktion, meistens zur Umfang- oder Flächenberechnung, die aber von zwei Variablen abhängig ist. Diese soll maximiert, oder minimiert werden.
Dann hast du eine sog. Nebenbedingung, d.h. eine andere Funktion, die beide Variablen enthält. Diese kannst du dann nach einer Variablen auflösen und dann in die zu maximierende/minimierende Funktion einsetzen.
Dann kast du die sogenannte Zielfunktion, die nur noch von einer Variablen abhängig ist. Von ihr kannst du dann das Maximum/Minimum berechnen.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 So 22.10.2006 | | Autor: | Fliege |
hmm..okay, aber woher weiss ich, was die nebenfunktion ist, und wie ich letztendlich das minimum rauskriegen kann?
weil da muss ich doch auch wissen, wie lang b ist und wie land a ist, oder???
lg fliege
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:53 So 22.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
Das schon, aber a ist der Durchmesser des Kreises mit dem Radius r und gleichzeitig die Länge der Rechteckseite.
Also gilt für das Rechteck:
[mm] A=\underbrace{2r}_{=a}*b
[/mm]
Und durch die Nebenbedingung erhältst du ja eine Bedingung, b durch r auszudrücken.
Wenn du am Ende den Materailverbrauch ermitteln musst, musst du natürlich auch das b wieder berechnen. Aber dann hast du ja einen konkreten Wert für den Radius, den du aus dem Minimun der Zielfunktion errechnet hast.
Marius
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