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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:17 Mi 05.12.2007 | | Autor: | DaPhil |
| Aufgabe | Berechne das Volumen von:
[mm]K = \{(x,y,z) | 0 \le z \le 1 ; x^2+y^2 \le (1-z/2)^2 \}[/mm] |
Also, ich habe erstmal transformiert in Zylinderkoordinaten... Die Grenzen sind [mm] 1/4 \le r \le 1;0 \le \varphi \le 2\pi;0 \le z \le 1 [/mm]. Das habe ich aus der Mengendefinition herausgelesen. Jetzt weiß ich nicht ganz, wie ich die Transformationsformel anwende... Ich habs so versucht: [mm]Vol(K) = \integral_{\IR^3}{1_K(x,y,z) dxdydz} = \integral_{\Omega '}{1/r * r^2 d\varphi dr dz}[/mm]. Hierin ist [mm]r^2[/mm] aus der Menger das [mm]x^2+y^2[/mm]. Die Menge [mm]\Omega ' = \{(r,\varphi,z) | 1/4 \le r \le 1;0 \le \varphi \le 2\pi;0 \le z \le 1 \} [/mm] und das 1/r aus der Trafoformel. Ist das so richtig? Wenn ja kommt da dann [mm]\bruch{15}{16}\pi[/mm] raus? Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:54 Mi 05.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Berechne das Volumen von:
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> [mm]K = \{(x,y,z) | 0 \le z \le 1 ; x^2+y^2 \le (1-z/2)^2 \}[/mm]
>
> Also, ich habe erstmal transformiert in
> Zylinderkoordinaten... Die Grenzen sind [mm]1/4 \le r \le 1;0 \le \varphi \le 2\pi;0 \le z \le 1 [/mm].
Das kann nicht sein: Betachte den Schnitt des Körpers K mit der xy-Ebene (z=0). Dann hast du die Schnittfläche [mm]x^2+y^2\le 1[/mm]. Dein Radius muss also von 0 bis 1 laufen.
Wenn du die Bedingung [mm]x^2+y^2 \le (1-z/2)^2[/mm] in Polarkoordinaten schriebst, bekommst du [mm]r^2\le (1-z/2)^2[/mm] oder [mm]0\le r \le 1-z/2[/mm].
K ist ein Stück eines Rotationsparaboloids, das durch Rotation einer nach unten offenen Parabel mit Scheitelpunkt [mm](0,0,2)[/mm] um die z-Achse entsteht.
> Das habe ich aus der Mengendefinition herausgelesen. Jetzt
> weiß ich nicht ganz, wie ich die Transformationsformel
> anwende... Ich habs so versucht: [mm]Vol(K) = \integral_{\IR^3}{1_K(x,y,z) dxdydz} = \integral_{\Omega '}{1/r * r^2 d\varphi dr dz}[/mm].
> Hierin ist [mm]r^2[/mm] aus der Menger das [mm]x^2+y^2[/mm]. Die Menge [mm]\Omega ' = \{(r,\varphi,z) | 1/4 \le r \le 1;0 \le \varphi \le 2\pi;0 \le z \le 1 \}[/mm]
> und das 1/r aus der Trafoformel. Ist das so richtig?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
In der Transformationsformel steht die Jacokideterminante, die für Zylinderkoordinaten gerade r ist. Wie du auf das [mm] r^2 [/mm] kommst, weiss ich nicht. Insgesamt:
[mm] V = \integral_K r dr d\varphi dz [/mm].
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:11 Mi 05.12.2007 | | Autor: | DaPhil |
Vielen Dank erstmal, da hatte ich einen kleinen HÄnger, weiß ich slebst nicht wie ich auf das [mm] r^2 [/mm] gekommen bin. Aber eine Frage noch:
In der Trafoformel muss ja zusätzlich zur Determinante noch das [mm]f(\phi(\psi))[/mm] stehen, wobei [mm]\psi[/mm] meine neuen Koordianten zusammenfasst. Wie bekomme ich denn aus meiner 1-Funktion der Menge (die muss ich ja um dass Volumen zu bekommen integrieren) die Funktion die ich in die Trafoformel einsetze (hier scheint sie anscheinend konstant 1 zu sein)?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:53 Mi 05.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Vielen Dank erstmal, da hatte ich einen kleinen HÄnger,
> weiß ich slebst nicht wie ich auf das [mm]r^2[/mm] gekommen bin.
> Aber eine Frage noch:
>
> In der Trafoformel muss ja zusätzlich zur Determinante noch
> das [mm]f(\phi(\psi))[/mm] stehen, wobei [mm]\psi[/mm] meine neuen
> Koordianten zusammenfasst. Wie bekomme ich denn aus meiner
> 1-Funktion der Menge (die muss ich ja um dass Volumen zu
> bekommen integrieren) die Funktion die ich in die
> Trafoformel einsetze (hier scheint sie anscheinend konstant
> 1 zu sein)?
Die Funktion ist 1 für alle Punkte in K, 0 außerhalb. Du musst also nur 1 einsetzen und die Grenzen richtig angeben.
Viele Grüße
Rainer
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