Volumen Ellipsoid < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen sie das Volumen des Ellipsoides B mit den Halbachsen a,b,c,>0
B := [mm] \{(x,y,z) \IR³| x²/a²+y²/b²+z²/c² < 1 \} [/mm] |
Wie ich Volumen integriere ist mir prinzipiell klar.
Nur ganz kurze Fragen zum Verständnis :
1.Wären Zylinder oder Kugelkoordianten sinnvoller ?
2. Wie wähle ich die die Grenzen für mein 3fach Integral (da liegt das größte Problem) ?
Egal welche Koordianten, mein Radis r würde ja von 0 bis 1 gehen ?
vielen Dank für Tipps !
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:04 Fr 29.12.2006 | | Autor: | moudi |
Hallo E-Techniker
Da das Ellipsoid nicht rotationssymmetrisch ist nützen hier Kugel- oder Zylinderkoordinaten nicht so viel.
Die Ellipsenoberfläche ist gegeben durch die Gleichung: [mm] $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$.
[/mm]
Die x-Koordinate kann maximale Werte annehmen, wenn y=z=0, in diesem Fall gilt [mm] $x=\pm [/mm] a$, deshalb läuft x von -a bis a:
[mm] $\int_{-a}^{a} \dots\,dx$.
[/mm]
Zu gegebenem x, kann die y-Koordinat maximale Werte annehmen, wenn z=0, in diesem Fall gilt [mm] $y=\pm b\sqrt{1-x^2/a^2}$, [/mm] deshalb läuft y von [mm] $-b\sqrt{1-x^2/a^2}$ [/mm] bis [mm] $b\sqrt{1-x^2/a^2}$:
[/mm]
[mm] $\int_{-a}^{a} \int_{-b\sqrt{1-x^2/a^2}}^{b\sqrt{1-x^2/a^2}}\dots\,dy\,dx$
[/mm]
Bei gegebenen x- und y- Koordinaten folgt für die z-Koordinate auf der Ellipsenoberfläche [mm] $z=\pm c\sqrt{1-x^2/a^2-y^2-b^2}$, [/mm] deshalb läuft z von [mm] $-c\sqrt{1-x^2/a^2-y^2/b^2}$ [/mm] bis [mm] $c\sqrt{1-x^2/a^2-y^2/b^2}$:
[/mm]
[mm] $\int_{-a}^{a}\int_{-b\sqrt{1-x^2/a^2}}^{b\sqrt{1-x^2/a^2}} \int_{-c\sqrt{1-x^2/a^2-y^2/b^2}}^{c\sqrt{1-x^2/a^2-y^2/b^2}}\,dz\,dy\,dx$
[/mm]
mfG Moudi
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vielen Dank, das hilft enorm weiter ! Danke
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Wenn ich das Integral ausrechne komme ich auf
[mm] V=6abc*\wurzel{1-x²/a²}*\wurzel{1-x²/a²-y²/b²}
[/mm]
Wäre das korrekt ?
Eine Frage hätte ich noch, das Volumen eines Ellipsoids wird aber im Allgemeinen mit [mm] 4/3\pi*abc [/mm] angegeben. Wo besteht der Zusammenhang zum eben errechneten Integral ?
Vielen Dank im Voraus !
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:59 Sa 30.12.2006 | | Autor: | Volker2 |
Hallo,
ich weiß nicht, we die Aufgabe konkret gelöst werden soll. Ich würde das Problem erstmal so vereinfachen:
Die lineare Abbildung
[mm] \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} ax \\ by \\ cz \end{pmatrix} [/mm]
bildet die Einheitskugel bijektiv auf das Ellipsoid ab. Dessen Volumen ist also nach der mehrdimensionalen Substitutionsregel das Volumen der Einheitskugel multipliziert mit dem Betrag der Determinante der Matrix
[mm] \begin{pmatrix}
a & 0 & 0\\
0 & b & 0 \\
0 & 0& c
\end{pmatrix}
[/mm]
die zu obiger Abbildung gehört. Also
Vol(Ellipsoid) = Vol(Einheitskugel) [mm] \left| abc \right|
[/mm]
Damit ist die Volumenberechnung auf die Volumenberechnung der Einheitskugel reduziert. Die ist nun etwas einfacher (denn a=b=c=1) als die entsprechende für das Ellipsoids. Vielleicht ist das Ergebnis sogar schon bekannt. Dann kommst du ganz ohne Rechnen zum Ziel. Wenn die mehrdimensionale Substitutionsregel SChwierigkeiten macht, kann auch einfach dreimal in dem auftretenden 3-Integral ganz normal (x [mm] \to [/mm] ax etc.) substituiert werden. Das Ergebnis ist in jedem Fall
Vol(Ellipsoid) = [mm] \bruch{4}{3}\pi \left| abc \right| (=\bruch{4}{3}\pi [/mm] abc , falls [mm] a,b,c\ge [/mm] 0).
Volker
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:58 Sa 30.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Was immer auch du gerechnet hast, nachdem du über x,y,z integriert hast, kann in der Endformel nicht mehr x und y vorkommen!
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:13 Mi 25.04.2007 | | Autor: | laucky |
Hallo,
das ist jetzt überfällig, aber eventuell hilft es deinen Nachfolgern: Wenn man ein bestimmtes Integral, d.h. ein Integral mit definierten Integrationsgrenzen berechnet, muss man das Integral berechnen und anschließend die Grenzen einsetzen:
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] = F(a) - F(b)
(wobei F hier die Stammfunktion von f bezeichnet). Zum Beispiel wäre
[mm] \integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{y}{dx}dy}=\integral_{0}^{1}{(\bruch{1}{2}y^2-\bruch{1}{2}0^2) dy}=\bruch{1}{2*3}1^3-\bruch{1}{2*3}0^3=\bruch{1}{6}
[/mm]
Bei einem bestimmten Integral (d.h. demjenigen mit Grenzen) tauchen die Variablen, über die integriert wird, nicht mehr in der Lösung auf!
Viel Erfolg euch allen!
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