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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:17 Sa 06.03.2010 | | Autor: | csak1162 |
| Aufgabe | Ein Behälter entsteht durch Rotation des Graphen der Funktion y=f(x) ,0 [mm] \le x\le [/mm] b um die y-Achse. Gib eine Formel zur Berechnung des Volumens an
a) durch Integration über x
b) durch Integration über y
Führe die Berechnung durch für y = sin(x), [mm] 0\le x\le \pi/2
[/mm]
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also durch integration über y hätte ich
x= [mm] f^{-1}(y) [/mm] und setze das in die Volumsformel für Rotation um die y-Achse ein und integriere nach y?? stimmt das??
und bei integration über x ??? da steh ich irgendwie auf der leitung??
danke lg
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Hallo csak1162,
> Ein Behälter entsteht durch Rotation des Graphen der
> Funktion y=f(x) ,0 [mm]\le x\le[/mm] b um die y-Achse. Gib eine
> Formel zur Berechnung des Volumens an
>
> a) durch Integration über x
> b) durch Integration über y
>
> Führe die Berechnung durch für y = sin(x), [mm]0\le x\le \pi/2[/mm]
>
> also durch integration über y hätte ich
>
> x= [mm]f^{-1}(y)[/mm] und setze das in die Volumsformel für
> Rotation um die y-Achse ein und integriere nach y?? stimmt
> das??
Ja.
Dann hast Du also
[mm]V_{y}=\pi*\integral_{y_{1}}^{y_{2}}{x^{2} \ dy}[/mm]
>
> und bei integration über x ??? da steh ich irgendwie auf
> der leitung??
Nun bekannt ist [mm]y=f\left(x\right)[/mm].
Das verwendest Du jetzt, um nach x intergrieren zu können,
dazu bildest Du dy und drückst das in Abhängigkeit von dx aus.
Dann kannst Du das dy in der Formel ersetzen.
>
> danke lg
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:50 So 07.03.2010 | | Autor: | csak1162 |
ich habe jetzt
[mm] V=\pi \integral_{a}^{b}{(x)^{2} f'(x) dx}
[/mm]
ich hoffe das stimmt??
dann hätte ich noch eine frage zu den grenzen, wie berechne ich die konkret für das bsp sin(x)
was ist dann [mm] y_{1} [/mm] und [mm] y_{2} [/mm] ???
danke lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:03 So 07.03.2010 | | Autor: | csak1162 |
$ [mm] V=\pi \integral_{a}^{b}{x^{2} dy} [/mm] $
setze ich jetzt für [mm] x=f^{-1}(y) [/mm] = arcsin(y) ein??
und integriere das dann mit partieller integration??? danke lg
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Hallo csak1162,
> [mm]V=\pi \integral_{a}^{b}{x^{2} dy}[/mm]
>
> setze ich jetzt für [mm]x=f^{-1}(y)[/mm] = arcsin(y) ein??
>
> und integriere das dann mit partieller integration??? danke
> lg
>
>
Ja.
Gruss
MathePower
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Hallo csak1162,
> ich habe jetzt
>
> [mm]V=\pi \integral_{a}^{b}{(x)^{2} f'(x) dx}[/mm]
>
> ich hoffe das stimmt??
Ja, das stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> dann hätte ich noch eine frage zu den grenzen, wie
> berechne ich die konkret für das bsp sin(x)
>
> was ist dann [mm]y_{1}[/mm] und [mm]y_{2}[/mm] ???
>
Hmm, hier brauchst doch die Grenzen für x.
>
> danke lg
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:32 So 07.03.2010 | | Autor: | csak1162 |
bei den grenzen bin ich mir noch nicht ganz im klaren
also wenn ich die funktion gegeben habe
y= sin(x), 0 [mm] \le x\le \pi/2.
[/mm]
sind das dann die grenzen die ich bei der integration nach x einsetzten muss, oder muss ich da andere einsetzen, weil ich ja um y-achse drehe???
und für die grenzen bei y stimmt da 0 und 1 ???
danke lg
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Hallo csak1162,
> bei den grenzen bin ich mir noch nicht ganz im klaren
>
> also wenn ich die funktion gegeben habe
> y= sin(x), 0 [mm]\le x\le \pi/2.[/mm]
>
> sind das dann die grenzen die ich bei der integration nach
> x einsetzten muss, oder muss ich da andere einsetzen, weil
> ich ja um y-achse drehe???
Das kommt darauf an, wonach Du integrierst.
Bei der Integration nach x benötigst Du die Grenzen [mm]x_{1}, \ x_{2}[/mm].
Bei der Integration nach y benötigst Du die Grenzen [mm]y_{1}, \ y_{2}[/mm].
>
> und für die grenzen bei y stimmt da 0 und 1 ???
Ja.
>
> danke lg
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 So 07.03.2010 | | Autor: | csak1162 |
also setzt ich bei integration nach x die grenzen x1,x2 ein, auch wenn ich um die y-Achse drehe???
danke für die hilfe noch mal
lg
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Hallo csak1162,
> also setzt ich bei integration nach x die grenzen x1,x2
> ein, auch wenn ich um die y-Achse drehe???
Richtig.
>
> danke für die hilfe noch mal
> lg
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:53 So 07.03.2010 | | Autor: | csak1162 |
ich bekomme jetzt [mm] \pi^{3}/4 [/mm] - [mm] 2\pi [/mm] und [mm] \pi^{3}/4 [/mm] - [mm] 3\pi [/mm] für integration nach y bzw. x heraus??????
kann mir jemand sagen welches jetzt stimmt???
danke lg
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Hallo csak1162,
> ich bekomme jetzt [mm]\pi^{3}/4[/mm] - [mm]2\pi[/mm] und [mm]\pi^{3}/4[/mm] - [mm]3\pi[/mm]
> für integration nach y bzw. x heraus??????
Es kommt beidesmal
[mm]\bruch{\pi^{3}}{4}-2\pi[/mm]
heraus.
>
> kann mir jemand sagen welches jetzt stimmt???
> danke lg
Gruss
MathePower
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