Volumen Torus < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:42 Mo 16.03.2015 | | Autor: | havoc1 |
| Aufgabe | | Der Flächeninhalt eines Torus ist durch [mm] \pi^2 [/mm] 4rR gegeben. Wie kann hieraus das Volumen des Torus bestimmt werden. Begründe! |
Hallo,
also ich würde intuitiv (und das scheint auch zu stimmen) folgendes machen:
[mm] V=\integral_{0}^{r}{\pi^2 4*r'*R dr'}=\pi^2 2Rr^2
[/mm]
Das ist gerade das Volumen für einen solchen Torus.
Mein Problem ist jetzt: Wieso ist das erlaubt? Ich denke immer an Cavallierie, allerdings macht das hier wohl keinen Sinn, da man ja keine Schnitte macht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:00 Mo 16.03.2015 | | Autor: | fred97 |
> Der Flächeninhalt eines Torus ist durch [mm]\pi^2[/mm] 4rR
> gegeben. Wie kann hieraus das Volumen des Torus bestimmt
> werden. Begründe!
> Hallo,
>
>
> also ich würde intuitiv (und das scheint auch zu stimmen)
> folgendes machen:
> [mm]V=\integral_{0}^{r}{\pi^2 4*r'*R dr'}=\pi^2 2Rr^2[/mm]
> Das ist
> gerade das Volumen für einen solchen Torus.
>
> Mein Problem ist jetzt: Wieso ist das erlaubt?
Tipp : Guldinsche Regeln
http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Rotationskörper&redirect=no#Guldinsche_Regeln
FRED
> Ich denke
> immer an Cavallierie, allerdings macht das hier wohl keinen
> Sinn, da man ja keine Schnitte macht.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:49 Mo 16.03.2015 | | Autor: | havoc1 |
Hallo fred,
diese Regeln zeigen zwar das es so geht, ich wüsste aber gerne allgemeine warum. Ich möchte deshalb hier einen Versuche anbringen das zu zeigen:
Die Menge deren Volumen ich bestimmen möchte ist:
E={f(x,y,r') : x [mm] \in[0,2\pi],y\in [0,2\pi], [/mm] r' [mm] \in [/mm] [0,r]}
mit
[mm] f(x,y,r)=\vektor{(R+r cos(x)) *cos(y) \\ (R+rcos(x))*sin(y) \\ r*sin(y)}
[/mm]
Vernünftigerweise sei r [mm] \le [/mm] R
Nun ist [mm] E_{r_0}= [/mm] { [mm] f(x,y,r_0) [/mm] : x [mm] \in [0,2\pi],y \in [0,2\pi] [/mm] }
Müsste ich nun nicht nach Cavallieri sagen können:
[mm] \lambda^3(E)=\integral_{0}^{r}{\lambda^2(E_{r'}) dr'}
[/mm]
Kann man das so machen? (Dass das richtige rauskommt ist ja bekannt, aber ist die Begründung ok?)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Di 24.03.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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