Volumen aus Rotationskörper < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:35 Do 05.05.2011 | | Autor: | zocca21 |
| Aufgabe | In der x-y-Ebene ist die Menge G := {(x, y) ∈ [mm] R^2 [/mm] |0 ≤ x ≤ [mm] −y^2 [/mm] + 4y − 3} gegeben.
Bestimmen Sie das Volumen des Drehkörpers, der durch Rotation von G um die x-Achse entsteht |
Nun will ich das auf dem üblichen Weg mit:
V = [mm] \pi \integral_{a}^{b}{f(x)^2 dx} [/mm] hinbekommen:
Jedoch hab ich dabei noch gehörige Probleme:
Zunächst will ich die Gleichung:
x= [mm] −y^2 [/mm] + 4y − 3 nach y auflösen will: nach recherchen bin ich darauf gekommen, dass es y = 2 + [mm] \wurzel{1-x} [/mm] sein muss.
Die Nullstellen sind ja 1 und 3. Aber wie komm ich dann schnell auf die Lösung?
Nun habe ich mir folgenden Ansatz genommen.
V= [mm] \pi \integral_{0}^{1}{(2+\wurzel{1-x})^2 dx} [/mm] - [mm] \pi \integral_{0}^{1}{(2- \wurzel{1-x})^2 dx}
[/mm]
ist das korrekt?
Vielen Dank für die Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:45 Do 05.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> In der x-y-Ebene ist die Menge G := {(x, y) ∈ [mm]R^2[/mm] |0 ≤
> x ≤ [mm]−y^2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
+ 4y − 3} gegeben.
> Bestimmen Sie das Volumen des Drehkörpers, der durch
> Rotation von G um die x-Achse entsteht
> Nun will ich das auf dem üblichen Weg mit:
>
> V = [mm]\pi \integral_{a}^{b}{f(x)^2 dx}[/mm] hinbekommen:
>
> Jedoch hab ich dabei noch gehörige Probleme:
>
> Zunächst will ich die Gleichung:
>
> x= [mm]−y^2[/mm] + 4y − 3 nach y auflösen will: nach recherchen
> bin ich darauf gekommen, dass es y = 2 + [mm]\wurzel{1-x}[/mm] sein
> muss.
Tatsächlich ? Nach recherchen ? Übe lieber das Lösen von quadratischen Gleichungen, denn obiges ist falsch.
> Die Nullstellen sind ja 1 und 3
Nullstellen von was ????
> . Aber wie komm ich dann
> schnell auf die Lösung?
>
> Nun habe ich mir folgenden Ansatz genommen.
>
> V= [mm]\pi \integral_{0}^{1}{(2+\wurzel{1-x})^2 dx}[/mm] - [mm]\pi \integral_{0}^{1}{(2- \wurzel{1-x})^2 dx}[/mm]
>
> ist das korrekt?
Nein
FRED
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> Vielen Dank für die Hilfe!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:14 Do 05.05.2011 | | Autor: | zocca21 |
Ok schonmal vielen Dank, jetzt weiß ich, dass das bisher totaler mist war ;)
Zu der Quadratischen Gleichung:
x = - [mm] y^2 [/mm] + 4y - 3
dachte ich es hilft mir vllt wenn ich es umschreibe zu:
x = (-y+1)(y-3)
doch leider seh ich auch hier noch keinen Ansatz wie ich zum umstellen komme.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:27 Do 05.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ok schonmal vielen Dank, jetzt weiß ich, dass das bisher
> totaler mist war ;)
>
> Zu der Quadratischen Gleichung:
>
> x = - [mm]y^2[/mm] + 4y - 3
>
> dachte ich es hilft mir vllt wenn ich es umschreibe zu:
>
> x = (-y+1)(y-3)
>
> doch leider seh ich auch hier noch keinen Ansatz wie ich
> zum umstellen komme.
Kann das wirklich sein, dass Du nicht in der Lage bist, die Gl.
[mm]y^2[/mm] + 4y - 3-x=0
nach y aufzulösen ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:06 Do 05.05.2011 | | Autor: | zocca21 |
Hmm das einzige was mir nun noch einfallen würde ist die Quadratische Ergänzung.
Hab ich mal versucht:
- [mm] y^2 [/mm] + 4y - 3 - x = 0
- [mm] (y^2 [/mm] - 4y + 4) + 4 -3 - x = 0
- [mm] (y-2)^2 [/mm] + 1 - x = 0
[mm] (y-2)^2 [/mm] = 1 - x
y - 2 = [mm] \wurzel{1-x}
[/mm]
y = 2 + [mm] \wurzel{1-x}
[/mm]
Nun komm ich aber wieder auf das wohl falsche Ergebnis welches ich schon zu Beginn genannt habe.
Danke für die Geduld!
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Hallo zocca21,
> Hmm das einzige was mir nun noch einfallen würde ist die
> Quadratische Ergänzung.
>
> Hab ich mal versucht:
>
> - [mm]y^2[/mm] + 4y - 3 - x = 0
Hier muss es doch lauten:
[mm]\blue{+}y^2 + 4y - 3 - x = 0[/mm]
>
> - [mm](y^2[/mm] - 4y + 4) + 4 -3 - x = 0
>
> - [mm](y-2)^2[/mm] + 1 - x = 0
>
> [mm](y-2)^2[/mm] = 1 - x
>
> y - 2 = [mm]\wurzel{1-x}[/mm]
>
> y = 2 + [mm]\wurzel{1-x}[/mm]
>
> Nun komm ich aber wieder auf das wohl falsche Ergebnis
> welches ich schon zu Beginn genannt habe.
>
> Danke für die Geduld!
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 Do 05.05.2011 | | Autor: | zocca21 |
Ah mist in der Aufgabenstellung hat es das minus vor dem [mm] y^2 [/mm] nicht angezeigt, da ich zwischen [mm] -y^2 [/mm] keinen Platz gelassen hab. Habs gerad im Quellcode verändert. Ich Idiot..
Würde dann die von mir vorgenommene Umformung stimmen?
Weil dann würd ich mich nochmal an die Integration machen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:08 Do 05.05.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
a) sollst du wirklich um die x-achse reotieren?
b) du hast das zweite vorzeichen der wurzel weggelassen
zeichne mal die 2 zweige der funktion [mm] y=2+\wurzel{1-x}
[/mm]
und [mm] y=2-\wurzel{1-x}
[/mm]
dann erst hast du nen Parabelbogen Scheitel bei x=1 Schnitt mit der y- Achse bie 1 und 3.
wie findest du dann das volumen raus, skizzier zuerst und rechne dann!
ist das Uni oder Schule?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:43 Do 05.05.2011 | | Autor: | zocca21 |
Ja um die X-Achse und ist Uni.
Also ich habs gezeichnet:
So muss ich doch als obere Grenze 1 und untere 0 setzen.
Nun kann ich ja zunächst das Volumen von 2 + [mm] \wurzel{1-x} [/mm] und der X-Achse berechnen und danach das Volumen von 2 - [mm] \wurzel{1-x} [/mm] und der X-Achse abziehen.
Dann müsste doch eig folgende Formel stimmen?
V= $ [mm] \pi \integral_{0}^{1}{(2+\wurzel{1-x})^2 dx} [/mm] $ - $ [mm] \pi \integral_{0}^{1}{(2- \wurzel{1-x})^2 dx} [/mm] $
Danke euch!
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Hallo zocca21,
> Ja um die X-Achse und ist Uni.
>
> Also ich habs gezeichnet:
>
> So muss ich doch als obere Grenze 1 und untere 0 setzen.
> Nun kann ich ja zunächst das Volumen von 2 + [mm]\wurzel{1-x}[/mm]
> und der X-Achse berechnen und danach das Volumen von 2 -
> [mm]\wurzel{1-x}[/mm] und der X-Achse abziehen.
>
> Dann müsste doch eig folgende Formel stimmen?
>
> V= [mm]\pi \integral_{0}^{1}{(2+\wurzel{1-x})^2 dx}[/mm] - [mm]\pi \integral_{0}^{1}{(2- \wurzel{1-x})^2 dx}[/mm]
Ja, die Formel stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Danke euch!
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:12 Do 05.05.2011 | | Autor: | zocca21 |
Ok, dann rechne ich das mal durch: V = [mm] V_1 [/mm] - [mm] V_2
[/mm]
[mm] V_1 [/mm] = [mm] \pi \integral_{0}^{1}{( 2+\wurzel{1-x})^2 dx}
[/mm]
mit 1.Binom
= [mm] \pi \integral_{0}^{1}{ (4+2\wurzel{1-x} + 1 - x )dx}
[/mm]
= [mm] \pi \integral_{0}^{1}{ (5+2\wurzel{1-x} - x) dx}
[/mm]
= [mm] \pi [/mm] [ 5x - [mm] \bruch{4}{3}(1-x)^{3/2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}x^2] [/mm] von 0 bis 1
= [mm] \bruch{35}{6} \pi
[/mm]
[mm] V_2 [/mm] = [mm] \pi \integral_{0}^{1}{( 2-\wurzel{1-x})^2 dx}
[/mm]
= [mm] \pi [/mm] [ 5x + [mm] \bruch{4}{3}(1-x)^{3/2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}x^2] [/mm] von 0 bis 1
= [mm] \bruch{25}{6} \pi
[/mm]
Wäre V = [mm] \bruch{10}{6} \pi
[/mm]
Laut einer LSG müsste es aber 16/3 [mm] \pi [/mm] sein :(
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Hallo zocca21,
> Ok, dann rechne ich das mal durch: V = [mm]V_1[/mm] - [mm]V_2[/mm]
>
> [mm]V_1[/mm] = [mm]\pi \integral_{0}^{1}{( 2+\wurzel{1-x})^2 dx}[/mm]
>
> mit 1.Binom
>
> = [mm]\pi \integral_{0}^{1}{ (4+2\wurzel{1-x} + 1 - x )dx}[/mm]
>
> = [mm]\pi \integral_{0}^{1}{ (5+2\wurzel{1-x} - x) dx}[/mm]
>
> = [mm]\pi[/mm] [ 5x - [mm]\bruch{4}{3}(1-x)^{3/2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}x^2][/mm] von
> 0 bis 1
Hier hast Du eine 2 vergessen:
[mm]\pi [ 5x - \blue{2}*\bruch{4}{3}(1-x)^{3/2} - \bruch{1}{2}x^2][/mm]
>
> = [mm]\bruch{35}{6} \pi[/mm]
>
> [mm]V_2[/mm] = [mm]\pi \integral_{0}^{1}{( 2-\wurzel{1-x})^2 dx}[/mm]
>
> = [mm]\pi[/mm] [ 5x + [mm]\bruch{4}{3}(1-x)^{3/2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}x^2][/mm] von
> 0 bis 1
Hier ebenso
[mm]\pi [ 5x + \blue{2}*\bruch{4}{3}(1-x)^{3/2} - \bruch{1}{2}x^2][/mm]
>
> = [mm]\bruch{25}{6} \pi[/mm]
>
> Wäre V = [mm]\bruch{10}{6} \pi[/mm]
>
> Laut einer LSG müsste es aber 16/3 [mm]\pi[/mm] sein :(
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 Do 05.05.2011 | | Autor: | zocca21 |
Genau, dann passt es! Super.
Woher kommt denn die fehlende 2.
Das Integral von [mm] \wurzel{1-x} [/mm] ist ja - [mm] \bruch{2}{3}(1-x)^{3/2} [/mm] den Ausdruck hab ich noch mit der bevorstehenden 2 multipliziert.
Danke nochmal und schönen Abend
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:48 Do 05.05.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
die 2 hast du schon beim Quadreiren [mm] vergesse(a+b)^2=a^2+2*a*b+b^2
[/mm]
das 2ab gibt [mm] 4*\wurzel{1-x}
[/mm]
gruss leduart
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Hallo zocca21,
das Minuszeichen vor dem [mm] y^2 [/mm] in der Gleichung, das du
angeblich noch eingefügt hast, ist immer noch nicht zu
sehen, außer man lässt sich den Quelltext anzeigen.
Ohne dieses Minuszeichen wäre das Gebiet G unendlich
ausgedehnt, und auch einen Rotationskörper mit endli-
chem Volumen gäbe es dann gar nicht.
LG
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