Volumen berechnen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:24 Mo 04.04.2011 | | Autor: | Marius6d |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie das Volumen der Teilmenge der Kegel [mm] x^{2}+y^{2}=z^{2}\le [/mm] 2, die oberhalb des Paraboloids z = [mm] x^{2}+y^{2} [/mm] liegt. |
Also ich bin wie folgt vorgegangen, die beiden Funktionen gleichgesetzt, um auf die Grenzen zukommen, das gibt ja einen Kreis also habe ich auf Zylinderkoordinaten transformiert, das ergibt bei mir für den Radius: 0 [mm] \le [/mm] r [mm] \le [/mm] 1 und für den Winkel: [mm] -\pi \le \alpha \le \pi
[/mm]
das Integral umgestellt:
[mm] \integral_{0}^{1}_{-\pi}^{\pi}{(r-r^2)*r d\alpha dr}
[/mm]
ergibt bei mir ein Resultat von
[mm] \bruch{1}{6}\pi
[/mm]
Ist das richtig? bzw. wie muss ich das [mm] \le [/mm] 2 einbeziehen?
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Hallo Marius6d,
> Bestimmen Sie das Volumen der Teilmenge der Kegel
> [mm]x^{2}+y^{2}=z^{2}\le[/mm] 2, die oberhalb des Paraboloids z =
> [mm]x^{2}+y^{2}[/mm] liegt.
> Also ich bin wie folgt vorgegangen, die beiden Funktionen
> gleichgesetzt, um auf die Grenzen zukommen, das gibt ja
> einen Kreis also habe ich auf Zylinderkoordinaten
> transformiert, das ergibt bei mir für den Radius: 0 [mm]\le[/mm] r
> [mm]\le[/mm] 1 und für den Winkel: [mm]-\pi \le \alpha \le \pi[/mm]
>
> das Integral umgestellt:
>
> [mm]\integral_{0}^{1}_{-\pi}^{\pi}{(r-r^2)*r d\alpha dr}[/mm]
Hier meinst Du doch:
[mm]\integral_{0}^{1}{\integral_{-\pi}^{\pi}{(r-r^2)*r \ d\alpha} \ dr}[/mm]
Das ist doch das Volumen unterhalb des Paraboloids.
>
> ergibt bei mir ein Resultat von
>
> [mm]\bruch{1}{6}\pi[/mm]
>
> Ist das richtig? bzw. wie muss ich das [mm]\le[/mm] 2 einbeziehen?
Daraus leitet sich die Obergrenze ab, bis zu der integriert wird.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 Mo 04.04.2011 | | Autor: | Marius6d |
Hmm ok, dann habe ich die Aufgabenstellung wohl falsch gelesen.
Ich habs nochmal nachgerechnet jetzt komm ich auf ca. 0.88807785
Ist das wieder komplett falsch?
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Hallo Marius6d,
> Hmm ok, dann habe ich die Aufgabenstellung wohl falsch
> gelesen.
>
> Ich habs nochmal nachgerechnet jetzt komm ich auf ca.
> 0.88807785
>
> Ist das wieder komplett falsch?
Das Ergebnis stimmt, wenn man nur 2 Stellen nach dem Komma betrachtet.
Das korrekte Ergebnis ist [mm] \approx 0.8829[/mm]
Bei Deiner Rechnung hast Du wohl mit
anderen Integrationsgrenzen gerechnet.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:34 Mo 04.04.2011 | | Autor: | Marius6d |
Hmm ok vielen Dank, das ist jo schonmal in der Nähe des Resultats, könntest du mir kurz erklären wie du es gerechnet hast? Denn ich habe einen Umweg gemacht und das Volumen in 2 Teile unterteilt, als erstes habe ich nur das Volumen berechnet unterhalt der Linie an der sich der Kegel und das Paraboloid schneiden und dann oberhalt bis auf [mm] \wurzel{2}, [/mm] weil das ist ja die obere Integrationsgrenze.
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Hallo Marius6d,
> Hmm ok vielen Dank, das ist jo schonmal in der Nähe des
> Resultats, könntest du mir kurz erklären wie du es
> gerechnet hast? Denn ich habe einen Umweg gemacht und das
> Volumen in 2 Teile unterteilt, als erstes habe ich nur das
> Volumen berechnet unterhalt der Linie an der sich der Kegel
> und das Paraboloid schneiden und dann oberhalt bis auf
> [mm]\wurzel{2},[/mm] weil das ist ja die obere Integrationsgrenze.
Es ist ja nur das Volumen oberhalb des Paraboloids gesucht.
Ich habe das so berechnet:
[mm]\integral_{1}^{\wurzel{2}}{ \integral_{-\pi}^{\pi}{ \left(r^{2}-r\right)*r\ d\alpha}\ dr}[/mm]
Gruss
MathePower
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