Volumen durch Integral < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:56 Fr 06.07.2007 | | Autor: | Zuggel |
| Aufgabe | | Ermitteln Sie das Volumen, limitiert durch den den elliptischen Zylinder mit Funktion: x²/4 + y² = 1 und der beiden Ebenen z=1 und z= 1 - [mm] \wurzel{3}*x [/mm] - 3*y |
Also das ganze wird durch ein 3 faches Integral gemacht, nur ich habe Probleme mit der Eingrenzung, also ich weiß nicht von wo bis wo ich integrieren soll.
[mm] \integral_{a}^{b}{\integral_{c}^{d}{\integral_{e}^{f}{f(x) dx dy dz}}}
[/mm]
z variiert demnach zwischen 0 und 1
x und y haben eine Ellipse welche durch eine Gerade geteilt wird als Domäne. Hier scheitere ich.
Danke für Antworten!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi,
> Ermitteln Sie das Volumen, limitiert durch den den
> elliptischen Zylinder mit Funktion: x²/4 + y² = 1 und der
> beiden Ebenen z=1 und z= 1 - [mm]\wurzel{3}*x[/mm] - 3*y
> Also das ganze wird durch ein 3 faches Integral gemacht,
> nur ich habe Probleme mit der Eingrenzung, also ich weiß
> nicht von wo bis wo ich integrieren soll.
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{\integral_{c}^{d}{\integral_{e}^{f}{f(x) dx dy dz}}}[/mm]
>
> z variiert demnach zwischen 0 und 1
>
> x und y haben eine Ellipse welche durch eine Gerade geteilt
> wird als Domäne. Hier scheitere ich.
Du hast also einen zylinder der oben und unten von ebenen beschränkt wird. Es bietet sich deshalb an, mit den 'zylinder-koordinaten' anzufangen.
die bedingung ist [mm] $x^2/4+y^2\le [/mm] 1$.
y kann also maximal von -1 bis 1 laufen. In abhängigkeit von y kannst du jetzt den range von x bestimmen. ... und z folgt dann trivial. 
VG
matthias
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> Danke für Antworten!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:45 Mi 11.07.2007 | | Autor: | Zuggel |
Nun das funktioniert leider nicht. Wenn du die Funktion zeichnest, siehst du was das für ein komisches Volumen ist.
Der Ansatz hierfür ist eindeutig die Integration durch Substitution, damit ich von einer Ellipse auf einen Kreis komme! Das schaff ich noch, nur weiß ich nicht wie ich weiter vorgehen soll.
Es ist noch eine Ebene welche ich nicht weiß, ob diese ebenso zu parametrisieren ist, oder nicht! Am Ende muss ich das Integral auf einer Jakobinischen Konstante machen soviel ich verstanden habe!
Gibts jemand der meinen Ansatz weiterführen kann?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:17 So 15.07.2007 | | Autor: | chrisno |
Hallo Zuggel,
zuerst ist es klar, dass Du die Schnittgerade der Ebenen brauchst. Sonst passiert es schnell, dass sich bei der Integration die beiden Teilvolumina wegheben. Anders gesagt, Du musst auch nur eins davon ausrechnen.
Schreib mal hin, wie Du die Fläche der Ellipse erhältst, indem Du die Substitution auf einen Kreis durchführst.
Wenn Du die Ellipse in einen Kreis verwandelst, dann stauchst Du dafür die x-Achse um einen Faktor zwei (eine Möglichkeit in Deinem Fall). Der muss dann bei der Substitution im Integral auftauchen.
Die gleiche Stauchung der x-Achse musst Du auch auf die schräg stehende Ebene anwenden. Schreib mal die neue Ebenengleichung hin, dazu die Schnittgerade.
Danach lässt sich das Ganze zu dem gesuchten Volumenintegral ausbauen.
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(Frage) überfällig | | Datum: | 00:36 Mo 16.07.2007 | | Autor: | Dirk07 |
Hallo,
möchte niemanden mit meiner vlt. etwas einfachen Frage durcheinander bringen. Da mich das jetzt aber interessiert, poste ich es dennoch.
Zum einen: Wieso braucht man da 3 Integrale? Verstehe das nicht so recht, wenn ich das Volumen beschreiben will, brauche ich doch nur 2 Integrale (die ineinander verschachtelt sind) oder ?
Kann man hier nicht einfach einen Einheitskreis zur Berechnung für die Ellipse setzen und auf Polarkoordinaten übergehen ? Soweit ich weiß, haben die doch die gleiche Fläche (in diesem Fall wie der Einheitskreis).
Lieben Gruß,
Dirk
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:19 Mo 16.07.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo,
> Zum einen: Wieso braucht man da 3 Integrale? Verstehe das
> nicht so recht, wenn ich das Volumen beschreiben will,
> brauche ich doch nur 2 Integrale (die ineinander
> verschachtelt sind) oder ?
Nein das wäre eine Fläche (zweidimensional). Du hast soviele Integrale wie Dimensionen.
Nimm als einfaches Beispiel den Würfel mit Kantenlänge 2. Das Volumen ist
[mm]V = \integral_0^2 \integral_0^2 \integral_0^2 dx\,dy\,dz = 8 [/mm].
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:15 Mi 18.07.2007 | | Autor: | Zuggel |
Das Problem ist, auch wenn ich eine Substitution durchführe bleibt mein Integral immernoch auf einem Kreis zu führen, welcher geschnitten wird, und das schaffe ich nicht zu integrieren...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:22 Do 19.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
die 2 Ebenen schneiden sich unter dm Winkel [mm] \alpha [/mm] in einer Geraden durch den Mittelpkt der Ellipse. damit entsteht ein Abschnitt unterhalb und oberhalb von z=1. die 2 Volumona sind gleich, beim Integrieren allerdings mit entgegengesetztem vorzeichen.
Ich würde die Ebene so drehen, dass sie durch [mm] z=1+x*tan\alpha [/mm] beschrieben wird. dann einfach nur über den Halbkreis x>0 integrieren.
zuerst würd ich allerdings die affine Abbildung 2x'=x machen damit wird alles einfacher und das Volumen genau verdoppelt.
Gruss leduart.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:47 Do 19.07.2007 | | Autor: | Zuggel |
Weiß denn keiner eine Lösung auf mein Problem :)?
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