Volumen einer Pyramide < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:00 Di 21.03.2006 | | Autor: | Yna |
| Aufgabe | Das Dreieck [mm]ABC_{k}[/mm] ist die Grundfläche der dreiseitigen Pyramide [mm]ABC_{k}S_{r}[/mm]. Begründen Sie, dass das Volumen V dieser Pyramide unabhängig von k und r ist.
[mm]A( 3 | 2 | 0 ), B( 0 | 3 | 2 ), C_{k}( 1+3k | 2-k | 4-2k ), S_{r}( -2r | 3+r | 4 ) [/mm] mit [mm]r,k \in \IR[/mm]. Die Punkte [mm]C_{k}[/mm] liegen auf der Geraden c, die Punkte [mm]S_{r}[/mm] auf der Geraden s. |
Hallo,
das ist nur ein Teil der ganzen Aufgabe, hoffe es ist nicht schlimm, dass ich jetzt nicht alle Teile mit abgeschrieben habe.
In vorangegangenen Aufgaben, habe ich schon herausgefunden, dass AB und die Gerade c parallel sind, aber nicht identisch und dass die Punkte A, B und [mm]C_{k}[/mm] auf der Ebene [mm] E: 2x_{1} + 4x_{2} + x_{3} - 14 = 0 [/mm] liegen.
Das Volumen einer Pyramide ist [mm]V= \bruch{1}{3}*G*h[/mm]; für die Fläche eines Dreiecks gilt [mm]F=\bruch{1}{2}*a*h_{a}[/mm].
Ich habe also erstmal versucht die Fläche des Dreiecks zu berechnen:
[mm]| \overrightarrow{AB}| = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \wurzel{14}[/mm]
und jetzt zur Höhe, dazu muss ich ja erstmal eine zu AB orthonogale Gerade finden, die durch [mm]C_{k}[/mm] geht:
Gerade a aus A und B:
[mm]a: \vec{x}= \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + t*\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
[mm]P_{a}=\begin{pmatrix} 3 -3t \\ 2 + t \\ 2t \end{pmatrix}[/mm]
[mm]\overrightarrow{P_{a}C_{k}}=\begin{pmatrix} 1+3k \\ 2-k \\ 4-2k \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3-3t \\ 2+t \\ 2t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 + 3k +3t \\ -k - t \\ 4 - 2k - 2t \end{pmatrix}[/mm]
[mm]\overrightarrow{P_{a}C_{k}}[/mm] soll orthonogal zu [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] sein:
[mm]\begin{pmatrix} -2 + 3k +3t \\ -k - t \\ 4 - 2k - 2t \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}= 0[/mm]
[mm]-3* (-2 + 3k + 3t) - k - t + 2*(4 - 2k - 2t) = 0[/mm]
[mm]6 - 9k - 9t - k - t + 8 - 4k - 4t = 0 [/mm]
[mm] -14k -14t = -12[/mm]
[mm] -14k = -12 +14t[/mm]
[mm] k = \bruch{6}{7} - t[/mm]
k in [mm]\overrightarrow{P_{a}C_{k}}[/mm] einsetzen:
[mm]\overrightarrow{P_{a}C_{k}}=\begin{pmatrix} -2 + 3(\bruch{6}{7}-t) +3t \\ -(\bruch{6}{7} - t) - t \\ 4 - 2(\bruch{6}{7} - t) - 2t \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2 + \bruch{18}{7} -3t +3t \\ -\bruch{6}{7} +t - t \\ 4 - \bruch{12}{7} + 2t - 2t \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \bruch{4}{7}\\ -\bruch{6}{7} \\ \bruch{16}{7}\end{pmatrix}[/mm]
davon brauche ich jetzt die Länge:
[mm]|\overrightarrow{P_{a}C_{k}}|= \wurzel{\bruch{44}{7}} = 2,507[/mm]
Damit habe ich die Grundfläche der Pyramide:
[mm] G=\bruch{1}{2}*\wurzel{\bruch{44}{7}}*\wurzel{14}=4,69
[/mm]
Da ist also schon mal kein Parameter mehr drin.
Jetzt die Höhe der Pyramide:
Die Grundfläche der Pyramide liegt auf der Ebene E, also kann man den Normalenvektor nutzen
[mm] \vec{n_{E}}=\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm]
Eine Gerade für die Höhe mit dem Normalenvektor von E und dem Punkt [mm]S_{r}[/mm]:
[mm]h:\vec{x}=\begin{pmatrix} -2r \\ 3+r \\ 4 \end{pmatrix}+m*\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
Schnittpunkt von E und h:
[mm]2*(-2r +2m) + 4(3+r + 4m) + (4+m) - 14 = 0[/mm]
[mm]4m + 12 + 16m + 4 + m - 14 = 0[/mm]
[mm]21m = -2[/mm]
[mm]m= - \bruch{2}{21}[/mm]
m in h:
[mm]\begin{pmatrix} -2r \\ 3+r \\ 4 \end{pmatrix}-\bruch{2}{21}*\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -2r -\bruch{4}{21} \\ r + \bruch{55}{21} \\ \bruch{82}{21} \end{pmatrix}=P_{E}[/mm]
nun kann ich die Höhe ausrechnen:
[mm]|\overrightarrow{P_{E}S_{r}}|= \begin{pmatrix} -2r \\ 3+r \\ 4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -2r -\bruch{4}{21} \\ r + \bruch{55}{21} \\ \bruch{82}{21} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \bruch{4}{21} \\ \bruch{8}{21} \\ \bruch{2}{21} \end{pmatrix}=\wurzel{\bruch{4}{21}}=0,436[/mm]
und damit das Volumen der Pyramide
[mm]V = \wurzel{\bruch{4}{21}}* 4,69 * \bruch{1}{3} = 0,6823[/mm]
Also Parameter sind im Endergebnis nicht drin, aber das Volumen erscheint mir doch ziemlich klein, vielleicht habe ich irgendwas übersehen, ist überhaupt der Weg etc. richtig?
Würde mich freuen, wenn sich jemand findet, der nichts zu tun hat und sich die Mühe machen will mal drüber zu schauen. ;))
LG,
Yna
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
/edit:
habe einen kleinen Fehler entdeckt und korrigiert ;)
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Hallo Yna,
meines Erachtens hast du dich an etwa einer Stelle verrechnet - die Grundfläche müßte 4,58 sein, und das Volumen ziemlich genau 2/3.
(Nein, ich habe deine Rechnungen nicht im Detail nachvollzogen, wenngleich die Grundideen richtig sind. Mein Lösungsweg beinhaltet ein Vektor- und ein Skalarprodukt.)
Tschö
Stukkateur
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:01 Di 21.03.2006 | | Autor: | Yna |
Hallo Stukkateur,
ich habe es jetzt nochmal nachgerechnet, komme aber immer auf das gleiche Ergebnis für die Grundfläche: 4,69 ?
Naja, bin ja mit meinem Endergebnis immerhin recht nah an den 2/3 dran. ;)
An welcher Stelle hast du denn ein Vektorprodukt gebraucht? Für den orthogonalen Vektor zur Grundfläche? (Obwohl der Normalenvektor der Ebene ist ja eigentlich schon gegeben ist.)
LG,
Yna
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:44 Di 21.03.2006 | | Autor: | Stukkateur |
Hall Yna,
für dein Dreieck gilt:
$F = {1 [mm] \over [/mm] 2} a [mm] \cdot h_a [/mm] = {1 [mm] \over [/mm] 2} [mm] \cdot [/mm] a [mm] \cdot [/mm] b [mm] \cdot \sin(\gamma)$ [/mm] .
Und welche Eigenschaften besitzt ein Vektorprodukt?
a) [mm] $\vec{a} \times \vec{b} \perp \vec{a}$
[/mm]
b) [mm] $\vec{a} \times \vec{b} \perp \vec{b}$
[/mm]
c) $| [mm] \vec{a} \times \vec{b} [/mm] | = [mm] |\vec{a}| \cdot [/mm] | [mm] \vec{b} [/mm] | [mm] \cdot \sin(\gamma)$
[/mm]
Ich bekomme also nicht nur einen Normalenvektor, sondern direkt mit einem brauchbaren Betrag. Weiter im Text:
$V = [mm] {1\over 3} \cdot [/mm] F [mm] \cdot h_F [/mm] = {1 [mm] \over [/mm] 3} [mm] \cdot [/mm] F [mm] \cdot [/mm] s [mm] \cdot \sin{\delta}$, [/mm] wobei s eine der "hohen" Seiten der Pyramide ist, und [mm] $\delta$ [/mm] der Winkel dieser Seite zur Ebene. Nun ist [mm] $\delta [/mm] = [mm] 90^o [/mm] - [mm] \epsilon$ [/mm] (dem Winkel zur Normalen), also
$F = {1 [mm] \over [/mm] 3} [mm] \cdot [/mm] F [mm] \cdot [/mm] s [mm] \cdot \cos(\epsilon)$ [/mm] .
Wie sind doch gleich die Eigenschaften eines Skalarprodukts?
[mm] $|\vec{a} \cdot \vec{b}| [/mm] = [mm] |\vec{a} \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\gamma) [/mm] $ .
Also ist das Volumen:
$V = | {1 [mm] \over [/mm] 6 } [mm] \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{s} [/mm] |$
Unter Zuhilfename eines nummerischen Rechnenknechtes gehobener Art lässt sich das sauber hinschreiben und der Wert berechnen - und da kam bei mir immer 2/3 heraus.
HTH
-Stukkateur
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 Di 21.03.2006 | | Autor: | Yna |
> Hall Yna,
Hallo Stukkateur,
puh, also deine Variante geht zwar schneller, aber erscheint für mich nicht besonders leicht nachzuvollziehen.
> für dein Dreieck gilt:
>
> [mm]F = {1 \over 2} a \cdot h_a = {1 \over 2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\gamma)[/mm]
> .
>
> Und welche Eigenschaften besitzt ein Vektorprodukt?
>
> a) [mm]\vec{a} \times \vec{b} \perp \vec{a}[/mm]
>
> b) [mm]\vec{a} \times \vec{b} \perp \vec{b}[/mm]
>
> c) [mm]| \vec{a} \times \vec{b} | = |\vec{a}| \cdot | \vec{b} | \cdot \sin(\gamma)[/mm]
>
> Ich bekomme also nicht nur einen Normalenvektor, sondern
> direkt mit einem brauchbaren Betrag. Weiter im Text:
>
> [mm]V = {1\over 3} \cdot F \cdot h_F = {1 \over 3} \cdot F \cdot s \cdot \sin{\delta}[/mm],
> wobei s eine der "hohen" Seiten der Pyramide ist, und
> [mm]\delta[/mm] der Winkel dieser Seite zur Ebene. Nun ist [mm]\delta = 90^o - \epsilon[/mm]
> (dem Winkel zur Normalen), also
was ist denn eine "hohe" Seite einer Pyramide, ist das überhaupt eine richtige Seite die du meinst?
> [mm]F = {1 \over 3} \cdot F \cdot s \cdot \cos(\epsilon)[/mm] .
>
> Wie sind doch gleich die Eigenschaften eines
> Skalarprodukts?
>
> [mm]|\vec{a} \cdot \vec{b}| = |\vec{a} \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\gamma)[/mm]
> .
>
> Also ist das Volumen:
>
> [mm]V = | {1 \over 6 } \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{s} |[/mm]
>
Ganz ehrlich find ich meine Variante zwar umständlicher, aber einfacher. ;)
> Unter Zuhilfename eines nummerischen Rechnenknechtes
> gehobener Art lässt sich das sauber hinschreiben und der
> Wert berechnen - und da kam bei mir immer 2/3 heraus.
Eigentlich müsste da doch das gleiche rauskommen?! Naja wird sich wohl irgendwo ein kleiner Fehler eingeschlichen haben, immerhin bin ich ja an den 2/3 recht nah dran, wie gesagt. :)
Danke für deine Hilfe jedenfalls. :)
> HTH
> -Stukkateur
LG,
Yna
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:52 Di 21.03.2006 | | Autor: | Fugre |
Hallo Yna,
Stukkateurs Weg ist wirklich um einiges kürzer als der "normale" Weg, deswegen würde ich ihn mir
an deiner Stelle einprägen, so kannst du dir gerade in Klausuren sehr viel Zeit sparen.
Es gibt übrigens auch eine sehr einfache Herleitung für diese Formel. Du musst dir lediglich klar machen,
dass das Spatprodukt beliebiger Vektoren immer dem Volumen des Parallelepipeds (ein räumliches Parallelogramm)
entspricht, welches die drei Vektoren aufspannen. Das Volumen der Pyramide entspricht dann dem sechsten Teil
dieses Spats. Klingt wohl eher verwirrend, wird aber logisch, wenn du es dir mal anschaust.
Gruß
Nicolas
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Halol Yna,
>
> was ist denn eine "hohe" Seite einer Pyramide, ist das
> überhaupt eine richtige Seite die du meinst?
Nun, bei einer dreiseitigen Pyramide ist der Boden auch ein Dreieck - von einer Seite also nicht prinzipiell zu unterscheiden. Du musst dir kannst dir eine Seite eines Tetraeders aussuchen und sie "Boden" oder "Grundfläche" nennen, und den Tetraeder dann "Pyramide"... Ich habe meinte mit "hohe Seite" eine Pyramidenseite.
> Ganz ehrlich find ich meine Variante zwar umständlicher,
> aber einfacher. ;)
Wenn du meinst - aber sie ist so umständlich, dass du den Fehler nicht findest, denn ...
> > Unter Zuhilfename eines nummerischen Rechnenknechtes
> > gehobener Art lässt sich das sauber hinschreiben und der
> > Wert berechnen - und da kam bei mir immer 2/3 heraus.
>
> Eigentlich müsste da doch das gleiche rauskommen?
Genau!
[siehe auch die "Spatprodukt"-Antwort meines Nachposters.]
Tschö
-Stukkateur
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