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Forum "Uni-Analysis" - Volumen einer Schnittmenge
Volumen einer Schnittmenge < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Volumen einer Schnittmenge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:49 Di 22.06.2004
Autor: Magician

Hallo, ich habe folgende Aufgabe:
"Berechnen sie das Volumen des Schnittes zweier Zylinder [mm]\left{ (x,y,z \right) \in \IR^3 \left| x^2+y^2 \le 1 , x^2+z^2 \le 1 \right}[/mm]"
Bei der Lösung habe ich mir gedacht, dies ist doch nichts anderes als [mm]\int_{M}^{} \, d(x,y,z)=\int_{0}^{1} \int_{0}^{\wurzel{1-x^2}} \int_{0}^{\wurzel{1-z^2}} \, dz \, dy \, dx[/mm]. Nun ist meine Frage, ob dies stimmt? MfG Magician.

        
Bezug
Volumen einer Schnittmenge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:40 Di 22.06.2004
Autor: Paulus

Hallo magician

> Hallo, ich habe folgende Aufgabe:
>  "Berechnen sie das Volumen des Schnittes zweier Zylinder
> [mm]\left{ (x,y,z \right) \in \IR^3 \left| x^2+y^2 \le 1 , x^2+z^2 \le 1 \right}[/mm]"
>  
> Bei der Lösung habe ich mir gedacht, dies ist doch nichts
> anderes als [mm]\int_{M}^{} \, d(x,y,z)=\int_{0}^{1} \int_{0}^{\wurzel{1-x^2}} \int_{0}^{\wurzel{1-z^2}} \, dz \, dy \, dx[/mm].
> Nun ist meine Frage, ob dies stimmt? MfG Magician.
>  

[ok] Ja, das hast du dir im Prinzip richtig überlegt. Nur die Integrationsgrenzen stimmen nicht: die untere Grenze ist nicht $0$, sondern jeweils das Negative der oberen Grenze. Aus Symmetriegründen kannst du dir aber auch einfach überlegen, dass du mit deinen Grenzen nur einen Achtel des ganzen Volumen abdeckst.  :-)

Im Weiteren habe ich auch den Eindruck, dass es bei den oberen Grenzen 2 Mal heissen sollte: [mm] $\wurzel{1-x^{2}}$ [/mm] :-)
Mit lieben Grüssen

Mit lieben Grüssen

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Volumen einer Schnittmenge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:51 Di 22.06.2004
Autor: Magician

Ja, du hast recht, es muss 2 mal [mm]\wurzel{1-x^2}[/mm] heissen. Nur, warum muss denn noch die negative integrationsgrenze dazu, kannst mir dies anschaulich (so dass man es versteht) erklären? Danke, Magician.

Bezug
                        
Bezug
Volumen einer Schnittmenge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:35 Di 22.06.2004
Autor: Paulus

Hallo magician

> Ja, du hast recht, es muss 2 mal [mm]\wurzel{1-x^2}[/mm] heissen.
> Nur, warum muss denn noch die negative integrationsgrenze
> dazu, kannst mir dies anschaulich (so dass man es versteht)
> erklären? Danke, Magician.

>

Jooh, wenn ich jetzt nur wüsste, was das heissen soll: so dass man es versteht. Meinst du damit, so dass es auch ein Strassenkehrer versteht?
Oder: so, dass selbst du es verstehst? Oder: jedes Kind soll das verstehen? Oder sogar ein Polizist?? Oder: ...? Oder ...?

Na ja, ist ja egal. Ich sage ganz einfach einmal: schaue die ganze Figur zum Beispiel in y-Richtung an.

Was bedeutet dann: [mm] $x^{2}+z^{2} \le [/mm] 1$?

Würdest du eine Funktion sehen: [mm] $x^{2}+z^{2} [/mm] =1$, dann wüsstest du wohl auf einen Blick, dass dies ein Kreis mit Radius $1$ um den Ursprung ist (immer von der y-Richtung aus gesehen!) Die Kreislinie ist jeweils bei [mm] $z=+\wurzel{1-x^{2}}$ [/mm] zu sehen, als auch bei [mm] $z=-\wurzel{1-x^{2}}$! [/mm]

Wenn jetzt an Stelle des Gleichheitszeichens ein Kleiner-Gleich steht, dann bedeutet das nichts anderes, als dass die ganze Kreisfläche gemeint ist. Der Rand davon ist also bei [mm] $z=-\wurzel{1-x^{2}}$ [/mm] und bei [mm] $z=+\wurzel{1-x^{2}}$. [/mm] Du kannst das auch einsehen, wenn du zum Beispiel für [mm] $x=-\bruch{1}{2}$ [/mm] und für [mm] $z=-\bruch{1}{2}$ [/mm] einsetzt. Diese Werte erfüllen die Gleichung [mm] $x^{2}+z^{2} \le [/mm] 1$! Wenn du mit $z$ nur von $0$ bis [mm] $+\wurzel{1-x^{2}}$ [/mm] wanderst, dann erfasst du nur den halben Kreis!Und das bei deiner Aufgabe in alle drei Dimensionen. Deshalb der Faktor $8$.

So, hat das nun auch ein Polizist verstanden? :-)

Mit lieben Grüssen



Bezug
                                
Bezug
Volumen einer Schnittmenge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:48 Di 22.06.2004
Autor: Magician

Hallo, vielen dank, nun hab selbst ich es verstanden. Wünsche noch einen angenehmen Abend und gute Nacht. MfG Magician.

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