Volumen eines Kegels < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:13 Sa 01.11.2014 | | Autor: | Teryosas |
| Aufgabe | Berechnen Sie unter Verwendung elliptischer Zylinderkoordinaten das Volumen [mm] \mu(K) [/mm] des elliptischen Kegels [mm] K\subseteq\IR^3 [/mm] mit den folgenden Eigenschaften:
-die Achse des Kegels stimmt mit der z-Achse überein
-die Spitze des Kegels zeigt nach oben
-der Kegel besitzt die Grundfläche [mm] \bruch{x²}{a²}+\bruch{y²}{b²}\le \delta^2 [/mm] und die Höhe h
Dabei sind [mm] a,b,\delta [/mm] und h positive reelle Konstanten. |
Hey,
habe diese Aufgabe und bin mir nicht ganz sicher ob ich richtig liege.
Bisher habe ich aufgestellt:
[mm] K={(x,y,z)\in\IR^3|(x,y)\in B, 0\le z \le h}
[/mm]
und
[mm] B={(x,y)\in\IR^2|\bruch{x^2}{a^2}+\bruch{y^2}{b^2}\le \delta^2}
[/mm]
was durch die Transformations ergibt:
[mm] B=(x,y)|-a\le x\le [/mm] a, [mm] -b\wurzel{\delta^2-\bruch{x^2}{a^2}}\le y\le b\wurzel{\delta^2-\bruch{x^2}{a^2}}
[/mm]
Das würde ich dann so integrieren:
[mm] \integral_{-a}^{a}{\integral_{-b\wurzel{\delta^2-\bruch{x^2}{a^2}}}^{b\wurzel{\delta^2-\bruch{x^2}{a^2}}}{\integral_{0}^{h}{dzdydx}}}
[/mm]
Wenn ich das jetzt so machen würde, käme ich dann auf das richtige Ergebnis?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:14 Sa 01.11.2014 | | Autor: | Teryosas |
Mist gerade erst gesehen.
Beim 3. Infopunkt der Aufgabe ist in der Ungleichung alles hoch 2
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:44 Sa 01.11.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
du sollst doch in elliptischen Zylinderkoordinaten rechnen und nicht in kartesischen. Aufgaben sollte man wirklich lesen.
sonst ist das mit dem Integral auch schwierig
x=a*cos(t), y=b*sin(t), z=z
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:59 Sa 01.11.2014 | | Autor: | Teryosas |
oh das hab ich total überlesen :o
Also einfach nur x und y ersetzen?
Und vermute mal das ich dann zweimal nach t integrieren muss, jetzt wo ich ja kein x,y mehr hab?
Das praktisch das bei rauskommt?
[mm] \integral_{-a}^{a}{\integral_{-b\wurzel{\delta^2-\bruch{(a*cos(t))^2}{a^2}}}^{b\wurzel{\delta^2-\bruch{(a*cos(t))^2}{a^2}}}{\integral_{0}^{h}{dzdtdt}}}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:35 Sa 01.11.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
was machst du denn da?
1. Der Flächeninhalt des Schnittes vom Kegel mit einer Ebene parallel zur xy-Ebene im Abstand d zur Ebene ist abhängig von d. Dein K ist ein Zylinder.
Mit Cavalieri kannst du das Volumen von K auf das Volumen der Grundfläche zurückführen: [mm] $\mu_3(K)=\frac{h}{3}\mu_2(B)$
[/mm]
2. Du solltest schon noch das Maß transformieren, symbolisch: [mm] $(dx,dy)\mapsto ab\delta^2 [/mm] r [mm] (dr,d\phi)$.
[/mm]
Ueberlege dir zunächst wie die Transformation aussieht, bevor du das Integral ausrechnest.
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:50 Sa 01.11.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du in anderen Koordinaten rechnest brauchst du zur Umrechnung von dx,fy,dt nach dr,dt,dz die Funktionaldeterminante. Da du ddas Volumen willst hast du [mm] y=racos(\phi) y)=rbsin(\phi
[/mm]
aber r hängt von z ab! dazu zeichne dir den Querschnitt! des Kegels.
dann lauft r von 0 bis r(z), [mm] \phi [/mm] von 0 bis [mm] 2\pi [/mm] z von 0 bis h integrieren,
Vielleicht berechnest du erstmal die Flache einer Ellipse mit festen r=1
Gruß leduart
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