Volumen eines Körpers < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:04 Mo 06.09.2010 | | Autor: | sqrt25 |
| Aufgabe | | Aus der Kugel [mm] x^2+y^2+z^2[/mm] [mm] \le [/mm] [mm] 4a^2 [/mm] wird das zylindrische Loch [mm] x^2+y^2[/mm] [mm] \le [/mm] 2ax ausgebohrt. Wie groß ist das Restvolumen? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Die Aufgabe taucht in einem Kapitel eines Lehrbuchs auf, in dem nur die Integration über einen ebenen Bereich erklärt ist. Transformationsformel/Volumenberechnung etc. sind an der Stelle noch nicht erläutert worden, daher unterstelle ich mal, dass die Aufgabe relativ leicht zu lösen ist. Trotzdem bereitet es mir immer wieder Schwierigkeiten, die Grenzen der Integrale bei solchen Aufgaben zu finden.
Ich bin wie folgt vorgegangen:
R: Radius der Kugel
r: Radius des Zylinders
R[mm] \le [/mm]2a
r[mm] \le [/mm] [mm] \wurzel{2ax}
[/mm]
Ich stelle mir die Funktionen nun so vor, dass der Mittelpunkt der Kugel im Ursprung des Koordinatensystems liegt und der Mittelpunkt des zylindrischen Lochs ebenfalls im Ursprung (salopp gesagt wird die Kugel also genau in der Mitte durchbohrt), wobei der Radius des Zylinders von x abhängt.
Man hat nun zwei Möglichkeiten, das Restvolumen zu bestimmen:
1. Das Volumen des Zylinders wird ermittelt und von dem Volumen der Kugel abgezogen.
2. Es wird direkt das Restvolumen bestimmt.
Ich habe nun ein paar Überlegungen zu 2. getroffen:
1. die Grenzen der z-Komponente müssen zwischen -2a und 2a liegen.
2. Betrachtet man die einzelnen Schichten der durchbohrten Kugel in der x,y Ebene, so ist festzustellen, dass die Dicke dieser Ringe von z abhängt.
Die Grenzen der y-Komponente könnten also zwischen [mm] \wurzel{4a^2-z^2-x^2} [/mm] und [mm] \wurzel{2ax} [/mm] liegen.
3. Wenn obige Ausführungen stimmen, müsste die x-Komponente nun noch von z abhängen, sodass die gesuchten Integrale die Struktur
[mm] \integral_{b}^{a} \integral_{h(z)}^{g(z)} \integral_{q(x,z)}^{r(x,z)} [/mm] dy dx dz
besitzen
Nun komme ich einfach nicht weiter.
Ich hoffe, mir kann jemand helfen.
Vielen Dank im Voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:30 Mo 06.09.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
das zylindrische Loch hat seine Mitte nicht auf der z-Achse, sondern ist exzentrisch, mit der Mitte bei x=a.
Die Aufgabe ohne Zylinderkoordinaten zu loesen find ich schwer. auf jeden Fall solltest du zuerst die Schnittkurve kennen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:38 Mo 06.09.2010 | | Autor: | sqrt25 |
> Hallo
> das zylindrische Loch hat seine Mitte nicht auf der
> z-Achse, sondern ist exzentrisch, mit der Mitte bei x=a.
>
Woran sieht man das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:54 Mo 06.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > das zylindrische Loch hat seine Mitte nicht auf der
> > z-Achse, sondern ist exzentrisch, mit der Mitte bei x=a.
>
> Woran sieht man das?
[mm] $x^2 [/mm] + [mm] y^2 \le [/mm] 2 a x [mm] \Leftrightarrow x^2 [/mm] - 2 a x + [mm] a^2 [/mm] + [mm] y^2 \le a^2 \Leftrightarrow [/mm] (x - [mm] a)^2 [/mm] + [mm] y^2 \le a^2$ [/mm] (auch bekannt als quadratische Ergaenzung).
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:48 Mo 06.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Aus der Kugel [mm]x^2+y^2+z^2[/mm] [mm]\le[/mm] [mm]4a^2[/mm] wird das zylindrische
> Loch [mm]x^2+y^2[/mm] [mm]\le[/mm] 2ax ausgebohrt. Wie groß ist das
> Restvolumen?
>
> Die Aufgabe taucht in einem Kapitel eines Lehrbuchs auf, in
> dem nur die Integration über einen ebenen Bereich erklärt
> ist. Transformationsformel/Volumenberechnung etc. sind an
> der Stelle noch nicht erläutert worden, daher unterstelle
> ich mal, dass die Aufgabe relativ leicht zu lösen ist.
> Trotzdem bereitet es mir immer wieder Schwierigkeiten, die
> Grenzen der Integrale bei solchen Aufgaben zu finden.
> Ich bin wie folgt vorgegangen:
> R: Radius der Kugel
> r: Radius des Zylinders
> R[mm] \le [/mm]2a
> r[mm] \le[/mm] [mm]\wurzel{2ax}[/mm]
>
> Ich stelle mir die Funktionen nun so vor, dass der
> Mittelpunkt der Kugel im Ursprung des Koordinatensystems
> liegt und der Mittelpunkt des zylindrischen Lochs ebenfalls
> im Ursprung (salopp gesagt wird die Kugel also genau in der
> Mitte durchbohrt), wobei der Radius des Zylinders von x
> abhängt.
> Man hat nun zwei Möglichkeiten, das Restvolumen zu
> bestimmen:
> 1. Das Volumen des Zylinders wird ermittelt und von dem
> Volumen der Kugel abgezogen.
> 2. Es wird direkt das Restvolumen bestimmt.
Ich wuerde 1. machen, das sollte einfacher sein.
Dazu beachte, dass $(x, y)$ fuer den Zylinder in einem Kreis um $(a, 0)$ mit Radius $a$ liegen. Fuer jedes solche Paar $(x, y)$ kannst du den Schnitt des (unendlichen) Zylinders mit der Kugel berechnen und somit eine Funktion $f(x, y)$ bestimmen, so dass [mm] $\int_{Kreis} [/mm] f(x, y) d(x, y)$ das Volumen des Schnittes ist.
LG Felix
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