Volumen eines Torus < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Berechnen Sie das Volumen eines Torus mit den Radien R,r |
Hi Leute!
Ich soll eine Herleitung einer Formel zur Berechnung des Volumen eines Torus bestimmen.
Leider weiß ich garnicht wo ich ansetzen soll.
Der Torus hat auf jeden Fall die Form eines Ringes oder Reifens (![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Torus)
Momentan machen wir in Mathe das Thema Rotationskörper, das ich eigentlich gut verstehe.
Die Paramter r und R sind denke ich so gemeint :
[Dateianhang nicht öffentlich]
Etwas ähnliches hat uns unser Lehrer auch als Tipp angemalt.
Ich würde mich über Anregungne sehr freuen!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:30 So 16.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Eisquatsch!
Die Parameter $R_$ und $r_$ hast Du völlig richtig interpretiert.
Für die Volumenformel solltest Du hier die 2. Guldin'sche Regel verwenden:
$$V \ = \ [mm] A*2\pi*R$$
[/mm]
Setze hier also für $A_$ die entsprechende Kreisfläche mit dem Radius $r_$ ein.
Gruß
Loddar
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Hi Loddar, danke für die Antwort!
Meine Frage ist jetzt aber auch ... wie man auf diese Formel kommt. Und wie wende ich dann die Integralrechnung an ?
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Achso, noch etwas, was mir eben eingefallen ist.
Könnte man den Thorus auch einfach schneiden und dann sozusagen "aufrichten" um dann einen Zylinder zu erhalten ?
Wie kann man das aber in einer Formel schreiben ?
Für einen Zylinder gilt da :
V= [mm] \pi [/mm] * r² * h
h wäre beim Torus R
aber den Rest kann ich nicht übertragen ...
http://www.mathematische-basteleien.de/ring.htm hier wird es, weiter unten bei Torus erklärt ... verstehen tu ichs aber nicht
und viel wichtiger : Wie überträgt man das ganze dann auf die Integralrechnung, also wie kann man den Körper "rotieren" lassen ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:15 So 16.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Achso, noch etwas, was mir eben eingefallen ist.
>
> Könnte man den Thorus auch einfach schneiden und dann
> sozusagen "aufrichten" um dann einen Zylinder zu erhalten
> ?
> Wie kann man das aber in einer Formel schreiben ?
>
> Für einen Zylinder gilt da :
>
> V= [mm]\pi[/mm] * r² * h
>
> h wäre beim Torus R
Nein, h w#re [mm]2\pi R[/mm]. denn du musst den Umfang nehmen.
Viele Grüße
Rainer
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Hi! Vielen vielen Dank für die Antwort, ich verstehs teilweise besser.
Aber, warum muss man eigentlich den Umfang nehmen? Wie kommt man auf die Formel für den Umfang? Ist damit die Mantelfläche gemeint ? Die Formel für die Mantelfläche wäre aber : [mm] 2*\pi*r*h, [/mm] wo kommt denn dann R rein ?
Und nehmen wir mal an ich habe dann die endgütlige Gleichung
V= [mm] (\pi [/mm] *r²) * [mm] (2*\pi*R)
[/mm]
V= 2*r [mm] 2*\pi²*R
[/mm]
Wie wendet man da jetzt Integralrechnung an ?
Ich weiß viele Fragen auf einmal, aber ich quäle mich wirklich schon den ganzen Tag damit herum ....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:01 So 16.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hi! Vielen vielen Dank für die Antwort, ich verstehs
> teilweise besser.
> Aber, warum muss man eigentlich den Umfang nehmen? Wie
> kommt man auf die Formel für den Umfang? Ist damit die
> Mantelfläche gemeint ? Die Formel für die Mantelfläche wäre
> aber : [mm]2*\pi*r*h,[/mm] wo kommt denn dann R rein ?
Nein, mit der Mantelfläche hat das nichts zu tun.
Stell dir den Torus vor. Den schneidest du an einer Stelle durch. Dann hast du einen zu einem (offenen) Reifen gebogenen Zylinder.
Der Radius des Zylinders ist r. Wie groß ist die Höhe des Zylinders? Sie ist gegeben durch den Umfang des Reifens.
> Und nehmen wir mal an ich habe dann die endgütlige
> Gleichung
>
> V= [mm](\pi[/mm] *r²) * [mm](2*\pi*R)[/mm]
>
> Wie wendet man da jetzt Integralrechnung an ?
Mit der Integralrechnung leitet man die endgültige Gleichung ab.
Ich tue mich mit der Erklärung ein bischen schwer, weil ich nicht weiß, was du schon weißt und was nicht. 
Viele Grüße
Rainer
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Also erstmal zu meinem Wissenshintergrund : Bei diesen ganzen Körpern, also in der kompletten Stereometrie, tu ich mir meistens schwer. Ich setz meistens die Zahlen in die Formeln ein und gut ist. Jetzt muss ich das Wissen aus der Mittelstufe natürlich wieder auffrischen, weil jetzt das Thema "Rotationskörper" ansteht, mit Integralrechnung eben.
Wir haben das Thema noch nicht im Unterricht besprochen, wir sollen uns hineinlesen und gleich herausfinden, wie man das Volumen eines Torus berechnet. Find ich ziemlich schwer ...
Das man den Torus schneidet und dann zu einem Zylinder aufrichtet, kann ich gut nachvollziehen.
Ich verstehe nicht, wie man auf die Formel für den Umfang eines Zylinders kommt. Sie steht nicht in meiner Formelsammlung.
Deswegen verstehe ich auch nicht, wie man da R einsetzt und wieso ...
Und zu dem Punkt mit der Integralrechnung. Wie kann man die endgültige Gleichung ableiten? Brauch ich dazu die Rotationsformel ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:45 So 16.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Das man den Torus schneidet und dann zu einem Zylinder
> aufrichtet, kann ich gut nachvollziehen.
>
> Ich verstehe nicht, wie man auf die Formel für den Umfang
> eines Zylinders kommt. Sie steht nicht in meiner
> Formelsammlung.
> Deswegen verstehe ich auch nicht, wie man da R einsetzt und
> wieso ...
Schau dir nochmal deine Zeichnung an. Die rot gestrichelte Linie ist ein Kreis vom Radius R, einverstanden?
Also hat diese Linie als Länge den Umfang eines Kreises von Radius R, also [mm]2\pi R[/mm].
Wenn du den Torus durchschneidest, dann änderst du die Länge dieser Kreislinie nicht. Wenn du ihn zu einem Zylinder aufbiegst, was wird aus dieser (rot gestrichelten) Linie?
> Und zu dem Punkt mit der Integralrechnung. Wie kann man
> die endgültige Gleichung ableiten? Brauch ich dazu die
> Rotationsformel ?
Das "Aufbiegen" zu einem Zylinder ist zunächst nur ein Analogieschluss. Du musst dabei das Ding außen stauchen und innen strecken.
Um es richtig auszurechnen, musst du integrieren. So wie du bei der "normalen" Integration die Fläche unter einer Kurve bestimmst, indem du lauter kleine Rechtecke aufsummierst, die immer schmaler werden, musst du beim Volumenintegral lauter kleine Volumen aufsummieren.
Hier nehmen wir aber keine Würfel, denn der Torus hat keine Ecken. Statt dessen stellen wir uns vor, dass wir den Torus nicht nur einmal sondern ganz oft durchschneiden, also lauter kleine "Wurstscheibchen" herausschneiden. Wir berechnen das Volumen dieser Scheibchen und summieren diese Volumina auf. Dann machen wir die Scheibchen immer dünner.
Von oben sieht der Torus aus wie ein Ring, dessen äußerer Radius R+r und innerer Radius R-r ist. Die Umfang des äußeren Rings ist daher [mm]2\pi(R+r)[/mm], der des inneren Rings ist [mm]2\pi(R-r)[/mm].
Die kleinen Scheibchen sehen von oben wie sehr schmale Trapeze aus. Wenn ich den Torus in n gleich große Scheibchen zerschnitten habe, dann sind die beiden schmalen Seiten
[mm]\bruch{1}{n}2\pi(R-r)[/mm] und [mm]\bruch{1}{n}2\pi(R+r)[/mm]
lang, die beiden langen Seiten jeweils 2r.
Diese schmalen Seiten sind zwar gekrümmt, aber so klein, dass man näherungsweise als sehr kurze gerade Strecken ansehen kann.
Die Fläche eines solchen Trapezes ist also näherungsweise
[mm]2r * \bruch{1}{2}\left(\bruch{1}{n}2\pi(R-r) + \bruch{1}{n}2\pi(R+r)\right) = 2r*\bruch{1}{n} 2\pi R[/mm]
Dieser Eindruck entsteht durchs Draufschauen von oben. In Wirklichkeit sind die Scheibchen ja kreisförmig und haben die Seitenfläche [mm]A=\pi r^2[/mm]. Die Überlegung von eben gilt aber analog, sodass das Volumen eines Scheibchens
näherungsweise
[mm] \pi r^2 * \bruch{1}{n} 2\pi R[/mm]
ist.
Jetzt sind wir aber fast fertig, denn das gesamte Volumen ergibt sich, indem man alle Scheibchenvolumina zusammenzählt. Das sind n Stück, sodass sich insgesamt ergibt:
[mm] V_{\text{Torus}} = n* \left(\pi r^2 * \bruch{1}{n} 2\pi R\right) = \pi r^2 *2\pi R[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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Wow erstmal vielen vielen vielen Dank zu dieser ausführlichen Antwort! Hat mir sehr geholfen und wird bestimmt auch anderen noch helfen.
Ein paar Sachen habe ich aber immernoch nicht ganz verstanden :
Ab dem Punkt wo du von Trapezen sprichst versteh ich absoluten Bahnhof ...ich dachte wir machen den Torus zum Zylinder, damit ich dann von dem Zylinder das Volumen berrechnen kann (weil uns dazu die Formel bekannt ist).
Und was ich immernoch nicht verstehe ist der Umfang.
Beim Zylinder gilt doch :
[mm] V=\pi*r²*h
[/mm]
Da wird doch auch nichts mit Umfang benutzt ... und das mit n vielen Stücken ... das hab ich bei der Streifenmethode verstanden, aber jetzt beim Torus verwirrt es mich ...
das verwirrt mich sowieso alles zu sehr ... sone Aufgabe ist doch bestialisch ...
Kann ich es nicht einfach so machen :
Ich errechne erst das Volumen vom Zylinder mit der Grundseite (R+r) und dann mit der Radius (R-r). Und dann zieh ich das kleinere Volumina vom größeren ab ... oder würde das prinzipiell nicht gehen ??
Oder ich bleib einfach bei der "normalen" Errechnung des Volumens für Zylinder .... Hier mal eine Skizze wie ich mir das gedacht habe :
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich find keinen roten Faden mehr ...
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Ok also ich bin jetzt nach langem hinn und her auch auf die Formel
[mm] V=2*\pi²*r²*R [/mm] gekommen
Ich habe mir dazu die Definition von Umfnang,Durchmesser u.s.w. durchgelesen. Ausgangsformel war das Volumen eines Zylinders. Die Höhe des Zylinders habe ich durch den Umfang ersetzt, der ist - nach Definition von Umfang und Durchmesser - [mm] 2*R*\pi
[/mm]
Gut, auch wenn ich das noch nicht ganz begriffen habe, den groben Umhang verstehe ich. Erstmal danke dafür :D Jetzt noch die letzte Frage : Wie verbinde ich das mit der Integralrechnung, oder kann ich das sein lassen?
Ich verstehe, das man viele Scheiben bilden kann und dann praktisch dadurch den Flächeninhalt bestimmt (wie bei der Streifenmethode eben).
Gibt es aber noch eine Möglichkeit die Integralrechnung anzuwenden mit dem Volumen für den Torus [mm] (V=2*\pi²*r²*R)
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:43 Mo 17.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das Was rainer dir vorgemacht hat ist sowas wie Integralrechnung: Du teilst was in n Teile, für die du das Volumen fast richtig ausrechnest, fast heisst umso genauer, je kleiner n, dann summierst du das alles, bildest den Grenzwert für n gegen unendlich und dann ists ein Integral.
Die andere Methode mit Integralen für Rotationskörper hat ich dir im anderen post versucht zu zeigen.
zu den Trapezen: wenn du einen Ring Wurst in lauter kleine Scheiben zerlegst, müdden die innen vom Ring immer ein bissel dünner sein als aussen.
jetz leg so ne Wurstscheibe vor dich hin, Kreis nach oben. dann ist sielinks dünner als rechts, wenn du seitlich draufschaust, sieht das aus, wie ein Trapez. wenn du die Scheibe von oben nach unten durchschneidest ist die Schnittfläche ein Trapez.
Den aufgeschnittenen Torus kannst du nicht wirklich zu nem Zylinder aufrichten, weil ja die Innenseite kürzer ist als die äussere.
deshalb nimmst du als "durchschnittliche Höhe nicht den Umfang aussen und nicht den innen, sondern das Mittel dazwischen.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:22 So 16.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Die Formel, die Loddar zitiert hat, kommt aus der Berechnung mittels eines Volumenintegrals.
Und zwar ist das Volumen eines Körpers ganz allgemein
[mm] \integral_V dV [/mm]
Dabei geht die Integration über alle Punkte des dreidimensionalen Raumes, aus denen der Körper besteht.
Der Trick bei der Berechnung besteht darin, dies durch ein möglich einfaches Dreifachintegral auszudrücken.
Wenn der Körper eine Rotationskörper ist (wie der Torus) kommt man mit einem einfachen Integral aus.
Beim Torus sucht mach sich erst einmal eine geeignete Beschreibung des Körpers. Das sind die Toruskoordinaten.
Zunächst einmal beschreibt man die in deiner Zeichnung rot gestrichelte Linie. Die ist ein Kreis mit Radius R in der xy-Ebene und wird am Einfachsten durch Polarkoordinaten beschrieben:
[mm] R*\vektor{\cos\varphi\\ \sin\var\phi\\0},\quad 0\le\varphi<2\pi[/mm]
Den Torus bekommen wir, indem wir um jeden Punkt dieses Kreises senkrecht zur Kreislinie eine Kreisscheibe vom Radius r legen.
Jetzt weisst du aber, was die Fläche dieser Kreisscheibe ist, nämlich
[mm] A= \pi r^2 [/mm]
Um auf das Volumen des Torus zu kommen, muss man über alle Punkte auf der rot gestrichelten Kreislinie integrieren:
[mm] V = \integral_0^{2\pi} A R d\varphi = 2\pi *A *R = 4\pi^2*r^2*R[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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Danke nochmals für die ausführliche Antwort !
> Toruskoordinaten.
> Zunächst einmal beschreibt man die in deiner Zeichnung rot
> gestrichelte Linie. Die ist ein Kreis mit Radius R in der
> xy-Ebene und wird am Einfachsten durch Polarkoordinaten
> beschrieben:
>
> [mm]R*\vektor{\cos\varphi\\ \sin\var\phi\\0},\quad 0\le\varphi<2\pi[/mm]
Damit kann ich garnichts anfangen, ich kenn diese Matrizen noch garnicht (sind das überhaupt Matrizen, naja egal lol)
>
> Den Torus bekommen wir, indem wir um jeden Punkt dieses
> Kreises senkrecht zur Kreislinie eine Kreisscheibe vom
> Radius r legen.
> Jetzt weisst du aber, was die Fläche dieser Kreisscheibe
> ist, nämlich
>
> [mm]A= \pi r^2[/mm]
>
> Um auf das Volumen des Torus zu kommen, muss man über alle
> Punkte auf der rot gestrichelten Kreislinie integrieren:
>
> [mm]V = \integral_0^{2\pi} A R d\varphi = 2\pi *A *R = 4\pi^2*r^2*R[/mm]
>
> Viele Grüße
> Rainer
Das verstehe ich auch nicht ... warum ist die obere Integrationsgrenze 2*/pi ? Und wie kommt man auf die Formel überhaupt ?
Das verwirrt mich jetzt alles zu sehr ...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:10 So 16.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Rainer hat dir nen Weg gezeigt, der auf der Schule, wo man Flächen nicht durch Parameter beschreibt, nicht gut zu erklären ist. also vergiss den Weg einfach.
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:57 So 16.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Der kleine Kreis hat doch die Gleichung:
[mm] (x-R)^2+y^2=r^2
[/mm]
oder für den oberen Halbkreis [mm] y=\wurzel{r^2-(x-R)^2}
[/mm]
Jetzt musst du das Stück zwischen x=R und x=R+r um die y-Achse rotieren.
davon abziehen, das Stück von x=R-r bis R um die y-Achse rotiert.
Ich seh grad, das was ich x genannt habe ist bei dir y, mein y dein z.
Das Ergebnis ist natürlich nur die Hälfte des Volumens!
Gruss leduart
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Das verwirrt micht jetzt noch mehr ...
Von welchem kleinen Kreis sprichst du? Den mit dem Radius r ? Wie kommt man auf die Gleichung für den Kreis?
Ich kann das irgendwie garnicht mit dem was ich vorher rausgefunden habe in einen Zusammenhang legen .... von welchen Kreisen,Halbkreisen u.s.w. redest du überhaupt ? Was soll von was abgezogen werden und wieso muss dann wieder die Hälfte des Volumens genommen werden ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:07 So 16.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich bezieh mich auf deine Zeichnung.
der kleine Kreis hat den Radius r und den Mittelpunkt z=0 y=R
ein Kreis in der y-z- Ebene hat die Gleichung [mm] (y-ym)^2+(z-zm)^2=r^2
[/mm]
hier zm=0 ym=R
dieser Kreis rotiert um die z-Achse, dann hat man das Volumen.
Wenn du aber das Volumen wie bei einem Rotationskörper ausrechnest, bekommst du ja das Volumen zwischen der ZAchse und der rotierenden Kurve. deshalb kannst du nur bis zum max der Kurve integrieren.
also hab ich erst das rechte obere Viertel des kleinen Kreises rotieren lassen.
dann ist das das Volumen einer massiven Schibe, die aussen mit nem halbkreis abschliesst.
Deshalb muss ich noch das abziehen, was rauskommt wenn ich den linken Viertelkreis rotieren lass.
Ich hab also
[mm] \integral_{R}^{R+r}{y^2 dz}-\integral_{R-r}^{r}{y^2 dz}
[/mm]
jetzt musst du [mm] y^2 [/mm] aus der obigen Kreisgleichung einsetzen und dann integrieren.
Vorstellung: du schneidest den liegenden Torus in Scheiben, das gibt lauter Kreisringe, deren Radien [mm] \rho1 [/mm] und [mm] \rho2 [/mm] in Abhängigkeit von z rechnest du aus und hast dann zu summieren [mm] \pi*(\rho2^2-\rho1^2) [/mm] über z
leider kommt bei den Integralen ein Integral über [mm] \wurzel{r^2-z^2}dz [/mm] vor. kannst du das?
Die Methode statt der Guldinischen Regel hab ich vorgeschlagen, weil ihr in der Schule grade Rotationskörper , die um die Achsen rotieren durchgenommen habt. die Guldinische Regel zu beweisen ist was schwierig, sie anzuwenden dagegen leichter.
Gruss leduart
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