Volumen eines Zylinders < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:17 Mo 08.09.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Leiten Sie die klassische Formel für das Volumen des geraden Kreiszylinders mit dem radius r und der Höhe h her. |
Hallo^^
Ich komm bei dieser Aufgabe nicht so ganz weiter.
Also da der Zylinder ja hier um die x-Achse rotiert,hab ich mal die Rotaionsformel genommen : [mm] V=\pi*\integral_{a}^{b}{(f(x))^{2} dx}.
[/mm]
Aber ich weiß nicht so genau,wie ich da jetzt weitermachen soll.
Habt ihr vielleicht Tipps für mich,wie ich da vorgehen könnte ?
[Dateianhang nicht öffentlich]
lg
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:21 Mo 08.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
Deine Funktion beim Kreiszylinder ist doch konstant. Es gilt:
$$f(x) \ = \ [mm] \text{const.} [/mm] \ = \ r$$
Und die daraus entstehende Integration ist doch machbar. Man muss dann noch wissen, dass gilt: $h \ := \ b-a$ .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:12 Mo 08.09.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Aber wie kommst du drauf ,dass h=b-a ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:21 Mo 08.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
Zeichne Dir in Deine eigenen Skizze die beiden Integrationsgrenzen $a_$ und $b_$ ein.
Und der abstand dieser beiden Werte auf der x-Achse entspricht doch exakt der Höhe des Kreiszylinders.
Gruß
Loddar
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Hallo Mandy_90,
wenn Du Deine Zeichnung anschaust, siehst Du dass die Gerade f(x) = y = r um die x-Achse rotiert. Also musst Du über [mm] y^2 [/mm] integrieren und zwar in dem Bereich, in dem sich der liegende Zylinder befindet; hier also wegen der Höhe h im Bereich x= 0 bis x=h!
Damit ergibt sich das gesuchte Volumen aus dem Integral
V = [mm] \pi \integral_{0}^{h}{r^2 dx}
[/mm]
ok?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:35 Mo 08.09.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Okay,also hab ich dann [mm] V=\pi\integral_{0}^{h}{x^{2} dx}=[\bruch{1}{3}r^{2}].
[/mm]
Dann setz ich h ein und hab [mm] \pi*{1}{3}r^{2}*h-0.
[/mm]
Aber das ist doch nicht die richtige Formel,was hab ich denn hier falsch gemacht?
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Hallo mandy_90!
Warum liest Du die letzte Nachricht nicht richtig. Hier ist y=r eine konstante Funktion ( waagrechte Gerade)! also ist [mm] y^2 [/mm] = [mm] r^2 [/mm] konstant und darf vor's Integral gezogen werden!
ok?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 Mo 08.09.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
ok stimmt dann hab ich also [mm] \pi*r^{2}\integral_{0}^{h}{f(x) dx},aber [/mm] was soll ich denn dann für meine Funktion f(x) hinschreiben,wenn ich die schon als konstante davor schreibe,weil ich nehm ja dann nur noch *h ???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:53 Mo 08.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
Das $f(x)_$ haben wir doch längst ersetzt mit $f(x) \ = \ r$ .
Damit lautet Dein Volumenintegral nunmehr:
$$V \ = \ [mm] \pi*\integral_0^h{r^2 \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \pi*r^2*\integral_0^h{1 \ dx}$$
[/mm]
Und was ergibt $1_$ integriert?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 Mo 08.09.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
1 integriert ergibt x und dann setz ich für x h ein und hab meine Formel oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:00 Mo 08.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
Im Prinzip stimmt es so. Aber Du setzt ja nicht nur [mm] $x_1 [/mm] \ = \ h$ ein sondern auch [mm] $x_2 [/mm] \ = \ 0$:
$$V \ = \ ... \ = \ [mm] \pi*r^2*\integral_0^h{1 \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \pi*r^2*\left[ \ x \ \right]_0^h [/mm] \ = \ [mm] \pi*r^2*\left[ \ h-0 \ \right] [/mm] \ = \ [mm] \pi*r^2*h$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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