Volumen in Kugelkoordinaten < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:55 Mi 15.01.2014 | | Autor: | nbt |
| Aufgabe | Sei $0<a<b$ und $c>0$. Berechne das Volumen des Kugelschalensektors
[mm] $S:=\{(x,z,y)\in\mathbb{R}^3|z>0,a^2
Hinweis: Transformieren Sie in Kugelkoordinaten. |
Hi,
also der Hinweis sagt ja schon, worauf es hinaus läuft. Ich hab mir erstmal den Kugelsektor veranschaulicht (siehe Bild).
[Dateianhang nicht öffentlich]
In meinem Ansatz verwende ich die Transformationsformel in Differentialformnotation.
Sei [mm] $g:\mathbb{R}^+\times ]0,\frac{\pi}{2}[\times ]0,2\pi], [/mm]
[mm] g(r,\theta,\phi)=(r\sin\theta\cos\phi,r\sin\theta\sin\phi,r\cos\theta)$,
[/mm]
die Abbildung in Polarkoordinaten auf der Nordhalbkugel ($z$ soll ja positiv sein). Der Winkel [mm] $\theta$ [/mm] gibt an, wie weit man sich von der z-Achse weglehnt und der Winkel [mm] $\phi$ [/mm] gibt an, wo man sich auf der x-y-Ebene befindet.
Die Jakobideterminante $det [mm] Dg=r^2\sin\theta$ [/mm] von $g$ ist im Definitionsbereich immer positiv, da [mm] $\theta\in]0,\frac{\pi}{2}[$
[/mm]
[mm] $\lambda_3(S)=\int_Sd\lambda_3=\int_Sdx\wedge dy\wedge dz=\int_{g^{-1}[S]}g^{\*}(dx\wedge dy\wedge dz)=\int_{g^{-1}[S]}r^2\sin\theta dr\wedge d\theta\wedge d\phi$.
[/mm]
Jetzt muss ich mir übers Urbild Gedanken machen. Da hab ich Schwierigkeiten:
[mm] $g^{-1}[S]=\{(r,\theta,\phi)\in\mathbb{R}^+\times]0,\frac{\pi}{2}[\times]0,2\pi]|r\in[a,b],\phi\in]0,2\pi],\cos\theta
Die letzte Bedingung kommt daher, dass aus [mm] $z^2
Ich komm bei den Integralgrenzen nicht weiter.
Vielen Dank für die Hilfe,
nbt
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> Sei [mm]00[/mm]. Berechne das Volumen des
> Kugelschalensektors
> [mm]S:=\{(x,z,y)\in\mathbb{R}^3|z>0,a^2
>
> Hinweis: Transformieren Sie in Kugelkoordinaten.
>
> Hi,
>
> also der Hinweis sagt ja schon, worauf es hinaus läuft.
> Ich hab mir erstmal den Kugelsektor veranschaulicht (siehe
> Bild).
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> In meinem Ansatz verwende ich die Transformationsformel in
> Differentialformnotation.
> Sei [mm]$g:\mathbb{R}^+\times ]0,\frac{\pi}{2}[\times ]0,2\pi],[/mm]
> [mm]g(r,\theta,\phi)=(r\sin\theta\cos\phi,r\sin\theta\sin\phi,r\cos\theta)$,[/mm]
> die Abbildung in Polarkoordinaten auf der Nordhalbkugel ([mm]z[/mm]
> soll ja positiv sein). Der Winkel [mm]\theta[/mm] gibt an, wie weit
> man sich von der z-Achse weglehnt und der Winkel [mm]\phi[/mm] gibt
> an, wo man sich auf der x-y-Ebene befindet.
> Die Jakobideterminante [mm]det Dg=r^2\sin\theta[/mm] von [mm]g[/mm] ist im
> Definitionsbereich immer positiv, da
> [mm]\theta\in]0,\frac{\pi}{2}[[/mm]
> [mm]\lambda_3(S)=\int_Sd\lambda_3=\int_Sdx\wedge dy\wedge dz=\int_{g^{-1}[S]}g^{\*}(dx\wedge dy\wedge dz)=\int_{g^{-1}[S]}r^2\sin\theta dr\wedge d\theta\wedge d\phi[/mm].
>
> Jetzt muss ich mir übers Urbild Gedanken machen. Da hab
> ich Schwierigkeiten:
>
> [mm]g^{-1}[S]=\{(r,\theta,\phi)\in\mathbb{R}^+\times]0,\frac{\pi}{2}[\times]0,2\pi]|r\in[a,b],\phi\in]0,2\pi],\cos\theta
> Die letzte Bedingung kommt daher, dass aus
> [mm]z^2
> und [mm]\sqrt{x^2+y^2}=\cos\phi[/mm] folgt diese Bedingung. Ist das
> so richtig?
> Ich komm bei den Integralgrenzen nicht weiter.
>
> Vielen Dank für die Hilfe,
> nbt
>
Hallo,
[mm] \phi [/mm] soll natürlich von 0 bis [mm] 2\,\pi [/mm] laufen,
r von a bis b und das [mm] \theta [/mm] (nach der gewählten
Festlegung) von [mm] $\theta_{min}$ [/mm] bis [mm] $\frac{\pi}{2}$ [/mm] .
Man kann sich leicht überlegen, dass
$\ c\ =\ [mm] tan\left(\frac{\pi}{2}\ -\ \theta_{min}\right)$
[/mm]
LG , Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:59 Do 16.01.2014 | | Autor: | nbt |
$ [mm] \phi [/mm] $ soll natürlich von 0 bis $ [mm] 2\,\pi [/mm] $ laufen,
r von a bis b und das $ [mm] \theta [/mm] $ (nach der gewählten
Festlegung) von $ [mm] \theta_{min} [/mm] $ bis $ [mm] \frac{\pi}{2} [/mm] $ .
Man kann sich leicht überlegen, dass
$ \ c\ =\ [mm] tan\left(\frac{\pi}{2}\ -\ \theta_{min}\right) [/mm] $
Hi Al-Chwarizmi,
danke für die Antwort. Du meinst wsl. $c>\ [mm] tan\left(\frac{\pi}{2}\ -\ \theta_{min}\right)$.
[/mm]
So ähnlich hab ichs mir auch überlegt: [mm] $z\frac{z}{||v||_2}\Rightarrow c>\frac{1}{\tan\theta}\Rightarrow \tan\theta>\frac{1}{c}\Rightarrow \theta>\tan^{-1}(\frac{1}{c})$ [/mm] für [mm] $\frac{1}{c}\neq \frac{(2n+1)\pi}{2},n\in\mathbb{N}$.
[/mm]
Dann hab ich folgendermaßen integriert:
[mm] $\int_{g^{-1}[S]}r^2\sin\theta dr\wedge d\theta\wedge d\phi=\int_0^{2\pi}\int_{tan^{-1}(1/c)}^{\pi/2}\int_a^br^2\sin\theta \underbrace{drd\theta d\phi}_{\text{so richtig?}}=\int=\cdots=$
[/mm]
[mm] $=(\frac{b^3}{3}-\frac{a^3}{3})\cos\tan^{-1}(\frac{1}{c})2\pi$
[/mm]
Hab so das klamme Gefühl, dass das falsch ist.
Vielen Dank für die Hilfe,
nbt
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> [mm]\phi[/mm] soll natürlich von 0 bis [mm]2\,\pi[/mm] laufen,
> r von a bis b und das [mm]\theta[/mm] (nach der gewählten
> Festlegung) von [mm]\theta_{min}[/mm] bis [mm]\frac{\pi}{2}[/mm] .
> Man kann sich leicht überlegen, dass
>
> [mm]\ c\ =\ tan\left(\frac{\pi}{2}\ -\ \theta_{min}\right)[/mm]
>
> Hi Al-Chwarizmi,
> danke für die Antwort. Du meinst wsl. [mm]c>\ tan\left(\frac{\pi}{2}\ -\ \theta_{min}\right)[/mm]. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Nein. Ich habe das genau so geschrieben, wie ich es
auch meine. [mm] \theta_{min} [/mm] soll die untere Grenze für die
zuläßigen Werte von [mm] \theta [/mm] sein ! Der Wert von c soll ja
vorgegeben sein, und daraus kann man durch die
angegebene Formel den Wert [mm] \theta_{min} [/mm] berechnen.
> So ähnlich hab ichs mir auch überlegt:
> [mm]z\frac{z}{||v||_2}\Rightarrow c>\frac{1}{\tan\theta}\Rightarrow \tan\theta>\frac{1}{c}\Rightarrow \theta>\tan^{-1}(\frac{1}{c})[/mm]
> für [mm]\frac{1}{c}\neq \frac{(2n+1)\pi}{2},n\in\mathbb{N}[/mm].
>
> Dann hab ich folgendermaßen integriert:
> [mm]\int_{g^{-1}[S]}r^2\sin\theta dr\wedge d\theta\wedge d\phi=\int_0^{2\pi}\int_{tan^{-1}(1/c)}^{\pi/2}\int_a^br^2\sin\theta \underbrace{drd\theta d\phi}_{\text{so richtig?}}=\int=\cdots=[/mm]
>
> [mm]=(\frac{b^3}{3}-\frac{a^3}{3})\cos\tan^{-1}(\frac{1}{c})2\pi[/mm]
>
> Hab so das klamme Gefühl, dass das falsch ist.
Nee - ich glaube, das stimmt. Den Ausdruck cos(arctan(...))
kann man noch zu einem Wurzelausdruck umformen.
Ich erhalte als Schlussergebnis:
$\ V\ =\ [mm] \frac{2\,\pi}{3}*(b^3-a^3)*\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}$
[/mm]
Kleine Kontrolle: für b=0 und [mm] c\to\infty [/mm] kommt das Volumen der
Halbkugel mit Radius a heraus, was jedenfalls passt.
Man könnte übrigens das Volumen des Körpers auch
durch eine Dreisatzrechnung aus dem Volumen der
Hohlkugel mit Außenradius a und Innenradius b berechnen:
[mm] $\frac{V}{V(Hohlkugel)}\ [/mm] =\ [mm] \frac{Aussenmantelflaeche}{Kugelaussenflaeche}\ [/mm] =\ [mm] \frac{Koerperhoehe}{2\,a}$
[/mm]
LG , Al-Chw.
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