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Ich möchte das Volumen eines unendlich dünnen, unendlich langen Drahtes berechnen. Zur Vereinfachung lege ich den Draht auf die z-Achse (damit nachhergehende Rechnungen einfacher fallen, die hier aber nicht diskutiert werden müssen/sollen).
Also das Volumen eines Körpers:
[mm] V=\integral_{V}{f(r,\phi,z)dV}=\integral \integral \integral{f(r,\phi,z)rdzdrd\phi} [/mm]
Meinen Draht in Zylinderkoordinaten kann ich folgendermaßen ausdrücken:
[mm] f(r)=\delta(r) [/mm]
Dies (und die Grenzen) kann ich in obige Gleichung einsetzen:
[mm] V &=& \limes_{R\rightarrow 0} \limes_{Z\rightarrow\infty}\integral_{0}^{2\pi} \integral_{0}^{R} \integral_{-Z}^{Z}\delta(r)rdzdrd\phi} \\
&=& \limes_{R\rightarrow 0}\integral_{0}^{2\pi} \integral_{0}^{R}\delta(r)r[\infty+\infty]drd\phi} [/mm]
Was mache ich falsch? Danke für Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:10 So 13.01.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
das integrieren der Deltafunktion verschleiert nur, dass du
[mm] \limes_{z\rightarrow\infty} \limes_{r\rightarrow 0}\pi*r^2*z [/mm] berechnen willst .
[mm] \integral{ \delta(r)*r dr} [/mm] =1 unabhaengig von den Grenzen.
Wenn du dir dagegen vorstellst, dass du eine [mm] m^3 [/mm] Stahl immer duenner walzt bleibt es 1 [mm] m^3 [/mm] egal wie duenn du ihn walzt. wenn dumit [mm] 100m^3 [/mm] anfaengst bleiben es [mm] 100m^3 [/mm] fuer z gegen [mm] \infty. [/mm] daraus siehst du, dass daskeine wohldefinierte Aufgabe ist.
Zusatz: du kannst ja ausserdem ein f(z) dazu fuegen,was die dicke beschreibt und gegen unendlich schnell genug abfaellt.
auch dannerhaltst du ein endliches integral und dein Draht wird beliebig duenn.
Gruss leduart
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