Volumen und Fluss < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:09 Do 23.06.2011 | | Autor: | zocca21 |
| Aufgabe | Das Flächenstück M: [mm] x^2 [/mm] - 4x + [mm] y^2 [/mm] + 2z = 0
und die xy-Ebene schließen einen Körper T ein.
a) Berechnen sie das Volumen T
b) Berechnen sie für das Vektorfeld
L = [mm] \vektor{\bruch{1}{3}(x-2)^3 + ln(z+1) \\ 0 \\ y^2z+1}
[/mm]
den Fluss von L durch M. |
Also die a) hab ich zunächst mal außen vorgelassen, da mir hier der Ansatz fehlt und wohl auch die Vorstellung im 3Dimensionalen. Darauf will ich später zurückkommen.
b) Zunächst hab ich die Divergenz von L gebildet:
div(L) = [mm] (x-2)^2 [/mm] + [mm] y^2
[/mm]
Nun habe ich das Flächenstück mal umgeschrieben(mit quadrat. Ergänzung)
(x-2)² + [mm] y^2 [/mm] = 4 - 2z
Nun habe ich ja einen Kreis der auf der X-Achse um 2 verschoben ist mit dem Radius [mm] \wurzel{4-2z}
[/mm]
Ich weiß zwar nun wie ich den Kreis parametrisiere: x= r * [mm] cos(\phi) [/mm] y= r* [mm] sin(\phi) [/mm] jedoch weiß ich die Grenzen von z nicht. Bzw. sehe sie nicht, außer dass z größer gleich 0 sein muss.
Vielen Dank für einen Ratschlag zurnächst zur b)
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Hallo zocca21,
> Das Flächenstück M: [mm]x^2[/mm] - 4x + [mm]y^2[/mm] + 2z = 0
>
> und die xy-Ebene schließen einen Körper T ein.
>
> a) Berechnen sie das Volumen T
> b) Berechnen sie für das Vektorfeld
>
> L = [mm]\vektor{\bruch{1}{3}(x-2)^3 + ln(z+1) \\ 0 \\ y^2z+1}[/mm]
>
> den Fluss von L durch M.
> Also die a) hab ich zunächst mal außen vorgelassen, da
> mir hier der Ansatz fehlt und wohl auch die Vorstellung im
> 3Dimensionalen. Darauf will ich später zurückkommen.
>
> b) Zunächst hab ich die Divergenz von L gebildet:
>
> div(L) = [mm](x-2)^2[/mm] + [mm]y^2[/mm]
>
> Nun habe ich das Flächenstück mal umgeschrieben(mit
> quadrat. Ergänzung)
>
> (x-2)² + [mm]y^2[/mm] = 4 - 2z
>
> Nun habe ich ja einen Kreis der auf der X-Achse um 2
> verschoben ist mit dem Radius [mm]\wurzel{4-2z}[/mm]
>
> Ich weiß zwar nun wie ich den Kreis parametrisiere: x= r *
> [mm]cos(\phi)[/mm] y= r* [mm]sin(\phi)[/mm] jedoch weiß ich die Grenzen von
> z nicht. Bzw. sehe sie nicht, außer dass z größer gleich
> 0 sein muss.
Aus der Wurzel geht hervor, daß [mm]4-2*z \ge 0[/mm] sein muss.
>
> Vielen Dank für einen Ratschlag zurnächst zur b)
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:53 Do 23.06.2011 | | Autor: | zocca21 |
Ah ok da es sich ja nur um Reele Zahlen handelt und so die Wurzel positiv sein muss.
Ich habe dann für 4 - 2z = 0 -> z=2 heraus
somit hätte ich nun die Berechnung folgendermaßen angestellt:
[mm] \integral_{0}^{ 2\pi} \integral_{0}^{2} \integral_{0}^{\wurzel{4-2z}} [/mm] (r * [mm] cos(\phi) [/mm] - [mm] 2)^2 [/mm] + [mm] r^2*sin(\phi)^2)) [/mm] dr dz [mm] d\phi
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{2\pi} \integral_{0}^{2} \integral_{0}^{\wurzel{4-2z}} (r^2 [/mm] * [mm] cos(\phi)^2 [/mm] - [mm] 4r*cos(\phi) [/mm] + 4 + [mm] r^2*sin(\phi)^2)) [/mm] dr dz [mm] d\phi
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{2\pi} \integral_{0}^{2} \integral_{0}^{\wurzel{4-2z}} (r^2 [/mm] - [mm] 4r*cos(\phi) [/mm] + 4) dr dz [mm] d\phi
[/mm]
und dann auflösen..
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Hallo zocca21,
> Ah ok da es sich ja nur um Reele Zahlen handelt und so die
> Wurzel positiv sein muss.
>
> Ich habe dann für 4 - 2z = 0 -> z=2 heraus
Das ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> somit hätte ich nun die Berechnung folgendermaßen
> angestellt:
>
> [mm]\integral_{0}^{ 2\pi} \integral_{0}^{2} \integral_{0}^{\wurzel{4-2z}}[/mm]
> (r * [mm]cos(\phi)[/mm] - [mm]2)^2[/mm] + [mm]r^2*sin(\phi)^2))[/mm] dr dz [mm]d\phi[/mm]
Und das ist nicht die richtige Parameterisierung des Flächenstücks.
Die Parametrisierung kannst Du doch gemäß der Gleichung
[mm]\left(x-2\right)^{2}+y^{2}=4-2*z[/mm]
wählen.
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi} \integral_{0}^{2} \integral_{0}^{\wurzel{4-2z}} (r^2[/mm]
> * [mm]cos(\phi)^2[/mm] - [mm]4r*cos(\phi)[/mm] + 4 + [mm]r^2*sin(\phi)^2))[/mm] dr dz
> [mm]d\phi[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi} \integral_{0}^{2} \integral_{0}^{\wurzel{4-2z}} (r^2[/mm]
> - [mm]4r*cos(\phi)[/mm] + 4) dr dz [mm]d\phi[/mm]
>
> und dann auflösen..
>
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 Do 23.06.2011 | | Autor: | zocca21 |
Ok, ich habs noch nicht ganz verstanden.
Ich dachte mir, dass ich nun die Divergenz des Vektorfeldes welches ich berechnet habe einsetze:
[mm] \integral_{0}^{ 2\pi} \integral_{0}^{2} \integral_{0}^{\wurzel{4-2z}} ((x-2)^2 [/mm] + [mm] y^2) [/mm] dx dy dz
Nun Parametrisier ich: x = r * [mm] cos(\phi) [/mm] und y= [mm] r*sin(\phi)
[/mm]
Dazu hätte ich nun vorher sowieso noch die Jacobi-Determinante r vergessen.
Wie sollte die richtige Parametrisierung eigentlich aussehen?
Benötige ich die Parametrisierung des Flächenstücks nicht nur für die Grenzen bzw. um sie dann in die berechnete Divergenz einzusetzen?
Vielen Dank wiedermal, die Hilfe ist wirklich immer Top!!
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Hallo zocca21,
> Ok, ich habs noch nicht ganz verstanden.
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> Ich dachte mir, dass ich nun die Divergenz des Vektorfeldes
> welches ich berechnet habe einsetze:
>
> [mm]\integral_{0}^{ 2\pi} \integral_{0}^{2} \integral_{0}^{\wurzel{4-2z}} ((x-2)^2[/mm]
> + [mm]y^2)[/mm] dx dy dz
>
> Nun Parametrisier ich: x = r * [mm]cos(\phi)[/mm] und y=
> [mm]r*sin(\phi)[/mm]
>
> Dazu hätte ich nun vorher sowieso noch die
> Jacobi-Determinante r vergessen.
>
> Wie sollte die richtige Parametrisierung eigentlich
> aussehen?
Die Gleichung
[mm]\left(x-2\right)+y^{2}=4-2*z[/mm]
ist für festes z ein Kreis.
Dieser wird dann wie folgt parametrisiert.
[mm]x-2=\wurzel{4-2*z}*\cos\left( \phi\right)[/mm]
[mm]y=\wurzel{4-2*z}*\sin\left( \phi\right)[/mm]
> Benötige ich die Parametrisierung des Flächenstücks
> nicht nur für die Grenzen bzw. um sie dann in die
> berechnete Divergenz einzusetzen?
>
> Vielen Dank wiedermal, die Hilfe ist wirklich immer Top!!
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:23 Do 23.06.2011 | | Autor: | zocca21 |
Ah ok:
Also wäre dann die parametrisierung eingesetzt:
[mm] \integral_{0}^{ 2\pi} \integral_{0}^{2} \integral_{0}^{\wurzel{4-2z}} ((\wurzel{4-2\cdot{}z}\cdot{}\cos\left( \phi\right))^2 [/mm] + [mm] (\wurzel{4-2\cdot{}z}\cdot{}\sin\left( \phi\right))^2 [/mm] dr dz [mm] d\phi
[/mm]
Wobei ich nun noch die Jacobi-Determinante berehcnen muss, nicht wahr?
zum Verständnis:
Hätte ich nun [mm] \left(x-2\right)+y^{2} [/mm] = 4
Könnte ich x-2 = [mm] cos(\phi) [/mm] * r und y = r * [mm] sin(\phi) [/mm] parametrisieren
und da hier nun mit z eine Variable im Radius steht muss ich nun
[mm] x-2=\wurzel{4-2\cdot{}z}\cdot{}\cos\left( \phi\right) [/mm] parametrisieren..
Hab ich das so richtig verstanden? Vielen Dank nochmal hilft mir auch sehr für weitere Aufgaben ;)
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Hallo zocca21,
> Ah ok:
>
> Also wäre dann die parametrisierung eingesetzt:
>
> [mm]\integral_{0}^{ 2\pi} \integral_{0}^{2} \integral_{0}^{\wurzel{4-2z}} ((\wurzel{4-2\cdot{}z}\cdot{}\cos\left( \phi\right))^2[/mm]
> + [mm](\wurzel{4-2\cdot{}z}\cdot{}\sin\left( \phi\right))^2[/mm] dr
> dz [mm]d\phi[/mm]
>
> Wobei ich nun noch die Jacobi-Determinante berehcnen muss,
> nicht wahr?
So ist es.
>
> zum Verständnis:
>
> Hätte ich nun [mm]\left(x-2\right)+y^{2}[/mm] = 4
>
> Könnte ich x-2 = [mm]cos(\phi)[/mm] * r und y = r * [mm]sin(\phi)[/mm]
> parametrisieren
>
> und da hier nun mit z eine Variable im Radius steht muss
> ich nun
>
> [mm]x-2=\wurzel{4-2\cdot{}z}\cdot{}\cos\left( \phi\right)[/mm]
> parametrisieren..
>
> Hab ich das so richtig verstanden? Vielen Dank nochmal
> hilft mir auch sehr für weitere Aufgaben ;)
>
Ja, das hast Du richtig verstanden.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:21 Fr 24.06.2011 | | Autor: | zocca21 |
Ok ich habe nun mal das ganze durchgerechnet:
|J| = [mm] \pmat{ -sin(\phi) * \wurzel{4-2z} & - (4-2z)^{-1/2} * cos(\phi) \\ cos(\phi) * \wurzel{4-2z} & -(4-2z)^{-1/2} * sin(\phi) }
[/mm]
|J| = 1
[mm] \integral_{0}^{ 2\pi} \integral_{0}^{2} \integral_{0}^{\wurzel{4-2z}} ((\wurzel{4-2\cdot{}z}\cdot{}\cos\left( \phi\right))^2 [/mm] + [mm] (\wurzel{4-2\cdot{}z}\cdot{}\sin\left( \phi\right))^2 [/mm] dr dz [mm] d\phi
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{ 2\pi} \integral_{0}^{2} \integral_{0}^{\wurzel{4-2z}} (cos(\phi)^2 [/mm] (4-2z) + [mm] sin(\phi)^2 [/mm] (4-2z)) dr dz [mm] d\phi
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{ 2\pi} \integral_{0}^{2} \integral_{0}^{\wurzel{4-2z}} [/mm] (4-2z) dr dz [mm] d\phi [/mm] = [mm] \integral_{0}^{ 2\pi} \integral_{0}^{2} (4-2z)^{1/2} [/mm] * (4-2z) dz [mm] d\dphi [/mm]
[mm] \integral_{0}^{ 2\pi} \integral_{0}^{2} (4-2z)^{3/2} [/mm] dz [mm] d\phi [/mm] = [mm] \integral_{0}^{ 2\pi} [/mm] [ - [mm] \bruch{1}{5} (4-2z)^{5/2} [/mm] ] von 0 bis 2
= [mm] \integral_{0}^{ 2\pi} \bruch{32}{5} d\phi [/mm] = [mm] \bruch{64}{5} \phi
[/mm]
Wäre das so korrekt?
Und habt ihr mir vielleicht schon einen kleinen Tipp zum Aufgabenteil a) ?
Im 2-Dimensionalen habe ich bisher immer aus dem angegebenen Bereich nach y aufgelöst und f(x) erstellt, so dass meine Formel V = [mm] \pi \integral f(x)^2 [/mm] dx oder wie wäre es im 3-dimensionalen? Oder kann ich dies über die Funktionaldeterminante machen, mit der ich ja das Volumenelement errechnen kann..
Vielen Vielen Dank nochmal!!
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Hallo zocca21,
> Ok ich habe nun mal das ganze durchgerechnet:
>
> |J| = [mm]\pmat{ -sin(\phi) * \wurzel{4-2z} & - (4-2z)^{-1/2} * cos(\phi) \\ cos(\phi) * \wurzel{4-2z} & -(4-2z)^{-1/2} * sin(\phi) }[/mm]
>
> |J| = 1
>
>
> [mm]\integral_{0}^{ 2\pi} \integral_{0}^{2} \integral_{0}^{\wurzel{4-2z}} ((\wurzel{4-2\cdot{}z}\cdot{}\cos\left( \phi\right))^2[/mm]
> + [mm](\wurzel{4-2\cdot{}z}\cdot{}\sin\left( \phi\right))^2[/mm] dr
> dz [mm]d\phi[/mm]
Hier steht doch erstmal:
[mm]\integral_{z=0}^{2}{\integral_{x=2-\wurzel{4-2*z}}^{2+\wurzel{4-2*z}}{\integral_{y=-\wurzel{4-2*z-\left(x-2\right)^{2}}}^{+\wurzel{4-2*z-\left(x-2\right)^{2}}}{\left( \ \left(x-2\right)^2+y^2 \ \right) \ dy} \ dx} \ dz}[/mm]
Zur Berechnung des Integrals führst Du jetzt eine Parametertransformation durch:
[mm]x=2+r*\cos\left(t\right), \ y = r*\sin\left(t\right)[/mm]
wobei r von 0 bis [mm]\wurzel{4-2*z}[/mm]
und t von 0 bis [mm]2\pi[/mm] laufen.
Die Funktionaldeterminante ist hier r.
Damit ergibt sich.
[mm]\integral_{z=0}^{2}{\integral_{r=0}^{\wurzel{4-2*z}}{\integral_{t=0}^{2\pi}{r^2*r \ dt} \ dr} \ dz}[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{ 2\pi} \integral_{0}^{2} \integral_{0}^{\wurzel{4-2z}} (cos(\phi)^2[/mm]
> (4-2z) + [mm]sin(\phi)^2[/mm] (4-2z)) dr dz [mm]d\phi[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{ 2\pi} \integral_{0}^{2} \integral_{0}^{\wurzel{4-2z}}[/mm]
> (4-2z) dr dz [mm]d\phi[/mm] = [mm]\integral_{0}^{ 2\pi} \integral_{0}^{2} (4-2z)^{1/2}[/mm]
> * (4-2z) dz [mm]d\dphi[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{ 2\pi} \integral_{0}^{2} (4-2z)^{3/2}[/mm] dz
> [mm]d\phi[/mm] = [mm]\integral_{0}^{ 2\pi}[/mm] [ - [mm]\bruch{1}{5} (4-2z)^{5/2}[/mm]
> ] von 0 bis 2
>
> = [mm]\integral_{0}^{ 2\pi} \bruch{32}{5} d\phi[/mm] = [mm]\bruch{64}{5} \phi[/mm]
>
> Wäre das so korrekt?
>
> Und habt ihr mir vielleicht schon einen kleinen Tipp zum
> Aufgabenteil a) ?
Hier hast Du
[mm]\integral_{z=0}^{2}{\integral_{x=-\wurzel{4-2*z}}^{+\wurzel{4-2*z}}{\integral_{y=-\wurzel{4-2*z-x^{2}}}^{+\wurzel{4-2*z-x^{2}}}{\blue{1} \ dy} \ dx} \ dz}[/mm]
zu berechnen.
>
> Im 2-Dimensionalen habe ich bisher immer aus dem
> angegebenen Bereich nach y aufgelöst und f(x) erstellt, so
> dass meine Formel V = [mm]\pi \integral f(x)^2[/mm] dx oder wie
> wäre es im 3-dimensionalen? Oder kann ich dies über die
> Funktionaldeterminante machen, mit der ich ja das
> Volumenelement errechnen kann..
>
> Vielen Vielen Dank nochmal!!
>
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:00 Fr 24.06.2011 | | Autor: | zocca21 |
Ah Ok:
was mich ein wenig verwirrt war, dass die Parametrisierung ja zunächst:
x-2= [mm] cos(\phi) [/mm] * [mm] \wurzel{4-2z}
[/mm]
y = [mm] sin(\phi) [/mm] * [mm] \wurzel{4-2z}
[/mm]
Deshalb dachte ich ich darf hier nicht für [mm] \wurzel{4-2z} [/mm] die Variabel r einführen, da sich ja noch die Variable z in der Wurzel befindet.
und nun x = 2 + [mm] cos(\phi) [/mm] *r
y= [mm] sin(\phi) [/mm] * r
aber ich glaub ich habs nun verstanden:
Ich denke die ersten beiden Parametrisierungen sind allgemein und da es sich nun bei [mm] \wurzel{4-2z} [/mm] um den radius handelt kann ich hier die Variable r schreiben. Diese ist ja durch meine Grenzen schon richtig begrenzt. Genauso wie die Variable z.
Die allgemeine Form ist hier nun x-2 = [mm] r*cos(\phi) [/mm] bzw. x = 2 + r [mm] *cos(\phi)
[/mm]
y = r * [mm] sin(\phi)
[/mm]
und hier ist dann die Jacobi-Determinante r genau ;)
Also ich denke das passt dann so, vom Verständnis vielen Dank ;)
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Hallo zocca21,
> Ah Ok:
>
> was mich ein wenig verwirrt war, dass die Parametrisierung
> ja zunächst:
>
> x-2= [mm]cos(\phi)[/mm] * [mm]\wurzel{4-2z}[/mm]
> y = [mm]sin(\phi)[/mm] * [mm]\wurzel{4-2z}[/mm]
>
Das ist die Parametrisierung des Flächenstücks.
> Deshalb dachte ich ich darf hier nicht für [mm]\wurzel{4-2z}[/mm]
> die Variabel r einführen, da sich ja noch die Variable z
> in der Wurzel befindet.
>
> und nun x = 2 + [mm]cos(\phi)[/mm] *r
> y= [mm]sin(\phi)[/mm] * r
>
Und diese Parametrisierung benutzt Du,
um das entstehende Integral zu lösen.
> aber ich glaub ich habs nun verstanden:
>
> Ich denke die ersten beiden Parametrisierungen sind
> allgemein und da es sich nun bei [mm]\wurzel{4-2z}[/mm] um den
> radius handelt kann ich hier die Variable r schreiben.
> Diese ist ja durch meine Grenzen schon richtig begrenzt.
> Genauso wie die Variable z.
>
> Die allgemeine Form ist hier nun x-2 = [mm]r*cos(\phi)[/mm] bzw. x =
> 2 + r [mm]*cos(\phi)[/mm]
> y = r * [mm]sin(\phi)[/mm]
>
> und hier ist dann die Jacobi-Determinante r genau ;)
>
> Also ich denke das passt dann so, vom Verständnis vielen
> Dank ;)
Gruss
MathePower
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