Volumen zweischal. Hyperboloid < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:39 Mo 02.07.2012 | | Autor: | Maus11 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie das Volumen des zweischaligen Hyperboloids
H [mm] :=\{(x; y; z)^T \in\IR^3 : 2x^2 + 2y^2 - z^2 \le9; |z| \le5\}
[/mm]
mit Hilfe von Polarkoordinaten. |
Wer kann mir die Aufgabe mit einem L;sungsweg erklären? Ich bin völlig ratlos.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:50 Mo 02.07.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo maus11
ist das wirklich ne Aufgabe aus Klasse 11, da hattet ihr wahrscheinlich dann Rotationskörper? hattet ihr auch Polarkoordinaten?
Teil den Körper in Scheiben der Höhe dz ein und summier über die Scheiben!
Wenn es doch Hochschule ist, verbessere bitte dein Profil, dann solltest du das
a)in Polar bzw Zylinderkoordinaten schreiben können und dann b) das Volumenintegral bilden.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:24 Di 03.07.2012 | | Autor: | Maus11 |
| Aufgabe | x=r cos f [mm] \to x^{2}= r^{2} cos^{2} [/mm] f
y=r sin f [mm] \to y^{2}= r^{2} sin^{2} [/mm] f
[mm] 2x^{2}+2y^{2}-z^{2} \le-9
[/mm]
[mm] \Rightarrow 2r^{2}\underbrace{(cos^{2} f+ sin^{2} f)}_{=1}-z^{2} \le-9=2r^{2}-z^{2} \le-9
[/mm]
[mm] z\le \wurzel{2r^{2}+9}
[/mm]
[mm] r=\pm \wurzel \bruch{z^{2}-9}{2}
[/mm]
r=0 [mm] \Rightarrow z=\pm3
[/mm]
V= [mm] 2\pi \integral_{3}^{5}{r(z)^2 dz}= 2\pi \integral_{3}^{5}{\bruch{z^2-9}{5} dz}= 2\pi \integral_{3}^{5}{\bruch{1}{4}(z^2-9) dz}= \bruch{2}{4}\pi \integral_{3}^{5}{z^2-9 dz}= \bruch{1}{2}\pi [\bruch{1}{3}*z^3-9z]_{3}^{5}=\bruch{1}{2}\pi [(\bruch{1}{3}*5^3-9*5)-(\bruch{1}{3}*3^3-9*3)]
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}\pi *14\bruch{2}{3}
[/mm]
[mm] =7\bruch{1}{3}\pi [/mm] |
Hallo leduart,
also das ist der weg auf dem ich jetzt ein Ergebnis bekommen habe, vielleicht wärst du so liebe und könntest maleine Blick darauf werfen ob es richtig ist?
Vielen lieben Dank,
Maus11
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Hallo Maus11,
> x=r cos f [mm]\to x^{2}= r^{2} cos^{2}[/mm] f
> y=r sin f [mm]\to y^{2}= r^{2} sin^{2}[/mm] f
>
> [mm]2x^{2}+2y^{2}-z^{2} \le-9[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow 2r^{2}\underbrace{(cos^{2} f+ sin^{2} f)}_{=1}-z^{2} \le-9=2r^{2}-z^{2} \le-9[/mm]
>
> [mm]z\le \wurzel{2r^{2}+9}[/mm]
>
> [mm]r=\pm \wurzel \bruch{z^{2}-9}{2}[/mm]
> r=0 [mm]\Rightarrow z=\pm3[/mm]
>
> V= [mm]2\pi \integral_{3}^{5}{r(z)^2 dz}= 2\pi \integral_{3}^{5}{\bruch{z^2-9}{5} dz}= 2\pi \integral_{3}^{5}{\bruch{1}{4}(z^2-9) dz}= \bruch{2}{4}\pi \integral_{3}^{5}{z^2-9 dz}= \bruch{1}{2}\pi [\bruch{1}{3}*z^3-9z]_{3}^{5}=\bruch{1}{2}\pi [(\bruch{1}{3}*5^3-9*5)-(\bruch{1}{3}*3^3-9*3)][/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{2}\pi *14\bruch{2}{3}[/mm]
>
> [mm]=7\bruch{1}{3}\pi[/mm]
> Hallo leduart,
>
> also das ist der weg auf dem ich jetzt ein Ergebnis
> bekommen habe, vielleicht wärst du so liebe und könntest
> maleine Blick darauf werfen ob es richtig ist?
>
Das Ergebnis musst Du noch mit 2 multiplizieren,
da nur von z=3 bis z=5 integriert wurde.
> Vielen lieben Dank,
>
> Maus11
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:15 Di 03.07.2012 | | Autor: | Maus11 |
Super, vielen lieben Dank. Ist es denn soweit ansonsten richtig, wenn ich jetzt als Ergebnis [mm] \bruch{14}{3}\pi [/mm] habe???
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Hallo Maus11,
> Super, vielen lieben Dank. Ist es denn soweit ansonsten
> richtig, wenn ich jetzt als Ergebnis [mm]\bruch{14}{3}\pi[/mm]
> habe???
Für den berechneten Teil ist das richtig.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:30 Di 03.07.2012 | | Autor: | Maus11 |
Lieber Mathepower,
vielen Dank für die Hilfe und ich hätte noch eine andere Bitte. Ich habe noch eine andere Aufgabe eingestellt, bei der ich mir aber nicht sich bin ob ich sie richtig gelöst habe. Es geht da um die Berechnung des Volumens eines Ellipsoids. Es wäre toll, wenn Sie einen Blick auf diese werfen könnten.
Dankeschön,
Maus11
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:51 Di 03.07.2012 | | Autor: | MathePower |
Hallo Maus11,
> Lieber Mathepower,
>
> vielen Dank für die Hilfe und ich hätte noch eine andere
> Bitte. Ich habe noch eine andere Aufgabe eingestellt, bei
> der ich mir aber nicht sich bin ob ich sie richtig gelöst
> habe. Es geht da um die Berechnung des Volumens eines
> Ellipsoids. Es wäre toll, wenn Sie einen Blick auf diese
> werfen könnten.
>
Wir sind hier alle per "Du".
> Dankeschön,
Gruss
MathePower
>
> Maus11
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:43 Mo 09.07.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hat 2 Fehler, die sich aufheben:
> V= [mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
2\pi \integral_{3}^{5}{r(z)^2 dz}
wenn du nur die obere Hälfte nimmst musst du \pi*r^2dz integrieren
>}= 2\pi \integral_{3}^{5}{\bruch{1}{4}(z^2-9) dz}
aber r^2=\bruch{1}{2}(z^2-9)
Damit bleibt dein Endergebnis wieder richtig.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:20 Mo 09.07.2012 | | Autor: | Maus11 |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Schwerpunkt des modi zierten Hyperboloids H
[mm] H:=\{(x; y; z)^T \in\IR^3 : 2x^2 + 2y^2 - z^2 \le9; 3 \le|z| \le5\} [/mm]
bei variabler Dichte p(x; y; [mm] z)=\bruch{1}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}}
[/mm]
Hinweis: es ist [mm] \integral{\wurzel{x^{2}+a} dx}=\bruch{1}{2}x(\wurzel{x^{2}+y^{2}}+aln(x+\wurzel{x^{2}+y^{2}})) [/mm] |
Also nach dem ich nun schon lange getüfftelt habe wie man das Volumen zu dieser Aufgabe berechnen soll und es auch geschafft habe hänge ich nun an dieser Fragestellung fest und habe keinen blassen Schimmer wie ich vorgenhen soll.
Kann mir hierbei vielleicht jemand behilflich sein?
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Hallo Maus11,
> Berechnen Sie den Schwerpunkt des modi zierten Hyperboloids
> H
>
> [mm]H:=\{(x; y; z)^T \in\IR^3 : 2x^2 + 2y^2 - z^2 \le9; 3 \le|z| \le5\}[/mm]
>
> bei variabler Dichte p(x; y;
> [mm]z)=\bruch{1}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}}[/mm]
>
> Hinweis: es ist [mm]\integral{\wurzel{x^{2}+a} dx}=\bruch{1}{2}x(\wurzel{x^{2}+y^{2}}+aln(x+\wurzel{x^{2}+y^{2}}))[/mm]
>
Sofern es sich immer nch um das zweischalige Hyperboloid handelt,
muss hier doch stehen:
[mm]H:=\{(x; y; z)^T \in\IR^3 : 2x^2 + 2y^2 - z^2 \le \blue{-}9; 3 \le|z| \le5\}[/mm]
> Also nach dem ich nun schon lange getüfftelt habe wie man
> das Volumen zu dieser Aufgabe berechnen soll und es auch
> geschafft habe hänge ich nun an dieser Fragestellung fest
> und habe keinen blassen Schimmer wie ich vorgenhen soll.
>
> Kann mir hierbei vielleicht jemand behilflich sein?
Es ändert sich hier der Integrand.
Dieser ist nicht mehr 1 sondern p(x,y,z).
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:17 Mo 09.07.2012 | | Autor: | Maus11 |
Oh ja richtig, entschuldigung....das ist natürlich
[mm] H:=\{(x; y; z)^T \in\IR^3 : 2x^2 + 2y^2 - z^2 \le -9; 3 \le|z| \le5\}
[/mm]
Nun weiß ich aber trotzdem nicht wie ich ansetzen soll....Denkblockade...:-(
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Hallo Maus11,
> Oh ja richtig, entschuldigung....das ist natürlich
>
> [mm]H:=\{(x; y; z)^T \in\IR^3 : 2x^2 + 2y^2 - z^2 \le -9; 3 \le|z| \le5\}[/mm]
>
> Nun weiß ich aber trotzdem nicht wie ich ansetzen
> soll....Denkblockade...:-(
Für den z-Schwerpunkt sieht das zu berechenende Integral so aus:
[mm]\integral_{}^{}{\integral_{}^{}{\integral_{}^{}{z*p\left(x,y,z\right)\ dV\left(x,y,z\right)}}}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:42 Mo 09.07.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
soll es wirklich wieder die 2 Hälften des Hyperboloids sein,
warum steht dann da modifiziert? dann ist doch alles symmetrisch und S im 0 Punkt. Zudem ist die Dichte bei r=0 unendlich?
Gruss leduart
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