Volumenberechnung < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:35 Mo 22.01.2007 | | Autor: | kati93 |
| Aufgabe | | Die Mantelfläche M eines Kegels ist fünfmal so groß wie seine Grundfläche. Gib die Mantellinie s und das Kegelvolumen V in Abhängigkeit vom Radius r an |
Hallo alle zusammen,
ich hab gleich 5 Aufgaben die mich beschäftigen. Bei manchen komm ich gar nicht weiter und bräuchte einen kleinen Denkanstoß und bei manchen bin ich einfach etwas unsicher und würde gerne wissen ob meine Rechnung richtig ist. Ich fang erst mal bei den Aufgaben an, die ich lösen konnte, mir aber bei dem Ergebnis nicht sicher bin.
Meine Rechnung:
[mm] rs\pi= 5r^2*\pi
[/mm]
s=5r
[mm] s^2=h^2+r^2
[/mm]
[mm] s^2-r^2=h^2
[/mm]
[mm] (5r)^2-r^2=h^2
[/mm]
[mm] h=\wurzel{24r^2}
[/mm]
[mm] V=\bruch{1}{3}r^2\pi *\wurzel{24r^2}
[/mm]
So, das ist mein Ergebnis! Würd mich freuen wenn ihr mir ein kurzes Feedback geben könntet!
Liebe Grüße,
Kati
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:57 Di 23.01.2007 | | Autor: | kati93 |
Super, vielen lieben Dank Marius!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:26 Di 23.01.2007 | | Autor: | kati93 |
| Aufgabe | | Ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck mit der Hypothenuse c wird um eine Kathete gedreht. Drücke das Volumen V und den Oberflächeninhalt des entstandenen Körpers durch c aus. |
So, die erste Aufgabe hab ich ja zum Glück richtig gemacht, mal schauen wies bei der aussieht... 
Meine Rechnung: (Ich erklär dazu ein bisschen was, auch wenn ihr wahrscheinlich wisst warum ich das gemacht hab, aber so wirds für mich übersichtlicher)
Also, V= [mm] \bruch{1}{3}\pi *r^2*h
[/mm]
r bestimmen:
c= Kreisbogen b
c= [mm] \bruch{90°}{180°}a^2\pi
[/mm]
[mm] c=0,5a^2\pi
[/mm]
Und c ist ja nichts anderes als der Umfang der Kreisgrundfläche des Kegels
[mm] U=2r\pi
[/mm]
[mm] 0,5a^2\pi=2r\pi
[/mm]
[mm] r=0,25a^2
[/mm]
so, jetzt muss ich ja noch das a durch c ausdrücken:
[mm] c^2=2a^2 [/mm]
a= [mm] \wurzel{0,5c^2}
[/mm]
somit wäre r dann: r= 0,25 * [mm] (\wurzel{0,5c^2})^2
[/mm]
r= 0,25 * 0,5 [mm] c^2
[/mm]
r= [mm] \bruch{1}{8}c^2
[/mm]
dann brauch ich noch h:
[mm] h^2=s^2-r^2 [/mm]
wobei s ja die Mantellinie des Kegels ist und somit a und b (weil gleichschenklig) entspricht und [mm] a=\wurzel{0,5c^2}
[/mm]
[mm] h^2=(\wurzel{0,5c^2})^2 [/mm] - [mm] (\bruch{1}{8}c^2)^2
[/mm]
[mm] h^2= 0,5c^2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{64}c^4
[/mm]
Wenn ich das alles richtig gemacht hätte, wäre V:
V= [mm] \bruch{1}{3}\pi [/mm] * [mm] (\bruch{1}{8}c^2)^2 [/mm] * [mm] (0,5c^2-\bruch{1}{64}c^4)
[/mm]
V= [mm] \bruch{\pi}{3} [/mm] * [mm] \bruch{1}{128}c^6 [/mm] - [mm] \bruch{1}{4096}c^8
[/mm]
Also da bin ich mir wirklich sehr unsicher ob das stimmt, kommt mir so lang vor....
Nun ja, dann kommen wir noch schnell zum Oberflächeninhalt:
O= [mm] r(r+s)\pi
[/mm]
O= [mm] (\bruch{1}{8}c^2) [/mm] * [mm] (\bruch{1}{8}c^2 [/mm] * [mm] \wurzel{0,5c^2})
[/mm]
So,ich habe fertig!!
Wäre super wenn ihr mir sagen könntet, was ich da falsch gemacht hab. Danke und Liebe Grüße,
Kati
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:24 Di 23.01.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck mit der
> Hypothenuse c wird um eine Kathete gedreht. Drücke das
> Volumen V und den Oberflächeninhalt des entstandenen
> Körpers durch c aus.
> So, die erste Aufgabe hab ich ja zum Glück richtig gemacht,
> mal schauen wies bei der aussieht...
>
> Meine Rechnung: (Ich erklär dazu ein bisschen was, auch
> wenn ihr wahrscheinlich wisst warum ich das gemacht hab,
> aber so wirds für mich übersichtlicher)
>
> Also, V= [mm]\bruch{1}{3}\pi *r^2*h[/mm]
>
> r bestimmen:
>
> c= Kreisbogen b
>
> c= [mm]\bruch{90°}{180°}a^2\pi[/mm]
>
> [mm]c=0,5a^2\pi[/mm]
>
> Und c ist ja nichts anderes als der Umfang der
> Kreisgrundfläche des Kegels
>
> [mm]U=2r\pi[/mm]
>
> [mm]0,5a^2\pi=2r\pi[/mm]
>
> [mm]r=0,25a^2[/mm]
>
> so, jetzt muss ich ja noch das a durch c ausdrücken:
>
> [mm]c^2=2a^2[/mm]
>
> a= [mm]\wurzel{0,5c^2}[/mm]
>
> somit wäre r dann: r= 0,25 * [mm](\wurzel{0,5c^2})^2[/mm]
>
> r= 0,25 * 0,5 [mm]c^2[/mm]
>
> r= [mm]\bruch{1}{8}c^2[/mm]
Bis hierher ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> dann brauch ich noch h:
Und da du im eine Kathete drehst, und das Dreieck gleichschenklig ist, gilt: r=h.
und damit
[mm] V=\bruch{\pi}{3}r²h=\bruch{\pi}{3}r³=\bruch{\pi}{3}(\bruch{c²}{8})^{3}
[/mm]
Für die Oberfläche des Kegels gilt:
[mm] O=\pi*r²+rs\pi
[/mm]
die Mantellinie ist c, den Radius kennst du auch, also
[mm] O=\pi(\bruch{c²}{8})²+\pi*c*\bruch{c²}{8}=\bruch{\pi*c^{4}+8\pi*c³}{64}
[/mm]
Die Formeln kannst du ![[]](/images/popup.gif) hier nachlesen.
[...]
>
> So,ich habe fertig!!
> Wäre super wenn ihr mir sagen könntet, was ich da falsch
> gemacht hab. Danke und Liebe Grüße,
>
> Kati
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:34 Di 23.01.2007 | | Autor: | kati93 |
Hilfe, das hab ich jetzt nicht so ganz verstanden, hab mir jetzt mal ne skizze gemacht damit ich den überblick nicht verlier.
ich versteh nicht so ganz warum r= h ist! Weil wenn ich das Dreieck um die Kathete dreh müsste doch eigentlich a meine Höhe sein. Und a ist ja nicht r, sondern a= [mm] \wurzel{0,5c^2}. [/mm] Oder bin ich jetzt grad völlig bescheuert???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:42 Di 23.01.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Wenn ich das richtig verstanden habe, Rotiert das Dreieck um die Kathete a.
Da es gleichschenklig ist, ist die Kathete b genauso lang.
Und A entspricht der Höhe h des Kegels, und b dem Radius des Grundflächenkreises. Also ist h=r.
Jetzt klarer?
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:00 Di 23.01.2007 | | Autor: | kati93 |
Mit A meinst du den Flächeninhalt des des Dreiecks?
Also A= 0,5 * c * h / = 0,5 * b * h
Aber ich versteh nicht warum b dem radius des Grundflächenkreises entspricht! b ist doch der Umfang des Grundflächenkreises und daraus lässt sich dann erst r berechnen. ( r= [mm] 0,25a^2)
[/mm]
bin grad total verwirrt....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:17 Di 23.01.2007 | | Autor: | chrisno |
Du hast irgend ein falsches Bild das Du erst mal abbauen mußt. Stell Dir erst einmal eine Drehachse auf den Tisch. Nun befestige das Dreieck mit der einen Kathete (Länge a) an der Drehachse. Die andere Kathete (auch Länge a) steht auf dem Tisch. Die Hypotenuse läuft schräg von der Achse zum Tisch. Nun fang an zu drehen. Die Kathete auf dem Tisch wischt einmal rund und erzeugt so einen Kreis. Dessen Radius ist genau die Länge der Kathete.
Also ist die Höhe des Kegels a und der Radius des Grundkrieses auch a. $V = [mm] \bruch{1}{3} \pi a^2 [/mm] * a$
Nun mußt Du a durch c ersetzen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:29 Di 23.01.2007 | | Autor: | kati93 |
okay, jetzt hab ich verstanden warum a= r = h ist. Vielen lieben Dank.
ich glaub ich hatte mein Dreieck falsch gedreht. Aber jetzt taucht bei mir schon das nächste Problem auf. Wenn ich es nämlich so drehe, dass a=r=h ist, dann ist doch c nicht mehr der Kreisbogen, sondern a, oder versteh ichs schon wieder falsch???
Hilfe!!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:33 Di 23.01.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Also:
Die Hypotenuse des Gleichschenkligen, rechtwinkligen Dreiecks ist die Mantellinie des Kegels.
Die eine Kathete ist die Höhe des Kegels, die andere, gleich lange ist der Grundkreisradius.
Tipp. Stell mal ein Geodreieck auf eine kurze Seite, und drehe mal um die senkrecht stehende Seite. Dann solltest du es haben.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:49 Di 23.01.2007 | | Autor: | kati93 |
okay, ich glaub jetzt ist es endlich auch bei mir angekommen
Meine Rechnung: (Aufgabe war es ja, V und O durch c auszudrücken)
r durch c ausdrücken:
[mm] c^2= 2r^2
[/mm]
[mm] r=\wurzel{0,5c^2}
[/mm]
V= [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * [mm] 0,5c^2 [/mm] * [mm] \wurzel{0,5c^2} [/mm] * [mm] \pi
[/mm]
Und O:
s=c
[mm] O=\wurzel{0,5c^2} [/mm] * [mm] (\wurzel{0,5c^2 + c}) \pi
[/mm]
Ich hoff mal ,dass das jetzt endlich stimmt, sonst geb ichs echt auf!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:11 Mi 24.01.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Das sieht gut aus.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:16 Mi 24.01.2007 | | Autor: | kati93 |
Danke, jetzt bin ich echt erleichtert! Ich kann die Aufgabe nämlich langsam echt nicht mehr sehen!
Aber wenn das wirklich richtig ist, dann hab ichs jetzt auch verstanden! Danke schön
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:43 Mi 24.01.2007 | | Autor: | kati93 |
| Aufgabe | In einen Kegelstumpf wird ein kegelförmiger "Krater" gebohrt.
a) Drücke V und O des Restkörpers in Abhängigkeit von h, [mm] r_1 [/mm] und [mm] r_2 [/mm] aus.
(...) |
Ich bins schon wieder!
die zweite Aufgabe war ja bei mir ne recht schwere Geburt, ich hoff hier gehts einfacher....
Nochmal kurz zu der Aufgabe: Da ist ne Zeichnung dabei, die ich ja leider nicht einscannen kann, deshalb muss ich dazu noch ein paar Worte sagen:
Die Grundform ist natürlich ein Kegelstumpf mit [mm] r_1 [/mm] (Grundfläche) , [mm] r_2 [/mm] (Schnittfläche) und der Höhe h.
Die Schnittfläche mit [mm] r_2 [/mm] ist gleichzeitig die Grundfläche für den Kegel der in den Kegelstumpf gebohrt wurde. Der Kegel hat ebenfalls die Höhe h.
Ich denk so müsste sich das jeder vorstellen können..
Meine Rechnung:
Das Volumen des Restkörpers erhalte ich wenn ich das Volumen des Kegels von dem Volumen des Kegelstumpfes subtrahiere.
V Kegelstumpf = [mm] \bruch{1}{3} *h(r_1^2+r_1r_2+r_2^2)\pi
[/mm]
V Kegel = [mm] \bruch{1}{3} *r_2^2*\pi*h
[/mm]
V Restkörper = [mm] \bruch{1}{3} *h(r_1^2+r_1r_2+r_2^2)\pi [/mm] - [mm] \bruch{1}{3} *r_2^2*\pi*h
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{3}*h*\pi(r_1^2+r_1r_2)
[/mm]
Ich denk eigentlich schon,dass das so stimmt,oder?
Größere Probleme hatte ich eindeutig bei O und mein Ergebnis scheint mir da doch etwas sehr lang geraten zu sein.
Meine Rechnung:
Der Oberflächeninhalt des Restkörpers setzt sich ja zusammen aus:
Der Mantelfläche des Kegelstumpfes, der Grundfläche des Kegelstumpfes und der Mantelfläche des eingebohrten Kegels.
Um die Mantelfläche des Kegelstumpfes zu berechnen brauch ich erstmal [mm] s_1:
[/mm]
[mm] (s_1)^2= ((r_1-r_2)^2 *0,5)^2 [/mm] + [mm] h^2
[/mm]
[mm] s_1= \wurzel{(r_1-r_2)^2 *0,5+h^2}
[/mm]
M Kegelstumpf = [mm] \wurzel{(r_1-r_2)^2 *0,5+h^2}*(r_1+r_2)\pi
[/mm]
Die Grundfläche des Kegelstumpfs :
G Kegelstumpf = [mm] (r_1)^2*\pi
[/mm]
Für die Mantelfläche des Kegels brauch ich wieder erst [mm] s_2:
[/mm]
[mm] (s_2)^2= h^2 [/mm] + [mm] (r_2)^2
[/mm]
[mm] s_2= \wurzel{h^2 + r_2^2}
[/mm]
M Kegel = [mm] r_2 *(\wurzel{h^2 + r_2^2})* \pi
[/mm]
Damit wäre der Oberflächeninhalt des Restkörpers:
O [mm] =\wurzel{(r_1-r_2)^2 *0,5+h^2}*(r_1+r_2)\pi [/mm] + [mm] (r_1)^2*\pi [/mm] + [mm] r_2 *(\wurzel{h^2 + r_2^2})* \pi
[/mm]
Stimmt das so oder hab ich mal wieder irgendwas falsch gemacht / falsch verstanden???
Freu mich auf euer Feedback!
Liebe Grüße,
Kati
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:11 Do 25.01.2007 | | Autor: | kati93 |
kann mir denn niemand helfen???
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:16 Do 25.01.2007 | | Autor: | Mary15 |
> In einen Kegelstumpf wird ein kegelförmiger "Krater"
> gebohrt.
> a) Drücke V und O des Restkörpers in Abhängigkeit von h,
> [mm]r_1[/mm] und [mm]r_2[/mm] aus.
>
> (...)
> Ich bins schon wieder!
> die zweite Aufgabe war ja bei mir ne recht schwere Geburt,
> ich hoff hier gehts einfacher....
>
> Nochmal kurz zu der Aufgabe: Da ist ne Zeichnung dabei, die
> ich ja leider nicht einscannen kann, deshalb muss ich dazu
> noch ein paar Worte sagen:
> Die Grundform ist natürlich ein Kegelstumpf mit [mm]r_1[/mm]
> (Grundfläche) , [mm]r_2[/mm] (Schnittfläche) und der Höhe h.
> Die Schnittfläche mit [mm]r_2[/mm] ist gleichzeitig die Grundfläche
> für den Kegel der in den Kegelstumpf gebohrt wurde. Der
> Kegel hat ebenfalls die Höhe h.
> Ich denk so müsste sich das jeder vorstellen können..
>
> Meine Rechnung:
>
> Das Volumen des Restkörpers erhalte ich wenn ich das
> Volumen des Kegels von dem Volumen des Kegelstumpfes
> subtrahiere.
>
> V Kegelstumpf = [mm]\bruch{1}{3} *h(r_1^2+r_1r_2+r_2^2)\pi[/mm]
>
> V Kegel = [mm]\bruch{1}{3} *r_2^2*\pi*h[/mm]
>
> V Restkörper = [mm]\bruch{1}{3} *h(r_1^2+r_1r_2+r_2^2)\pi[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{3} *r_2^2*\pi*h[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{3}*h*\pi(r_1^2+r_1r_2)[/mm]
richtig!
>
> Ich denk eigentlich schon,dass das so stimmt,oder?
>
> Größere Probleme hatte ich eindeutig bei O und mein
> Ergebnis scheint mir da doch etwas sehr lang geraten zu
> sein.
>
> Meine Rechnung:
>
> Der Oberflächeninhalt des Restkörpers setzt sich ja
> zusammen aus:
> Der Mantelfläche des Kegelstumpfes, der Grundfläche des
> Kegelstumpfes und der Mantelfläche des eingebohrten
> Kegels.
>
> Um die Mantelfläche des Kegelstumpfes zu berechnen brauch
> ich erstmal [mm]s_1:[/mm]
>
> [mm](s_1)^2= ((r_1-r_2)^2 *0,5)^2[/mm] + [mm]h^2[/mm]
>
> [mm]s_1= \wurzel{(r_1-r_2)^2 *0,5+h^2}[/mm]
nach meiner Berechnung [mm] s_{1} [/mm] = [mm] \wurzel{(r_{1} - r_{2})^{2} + h^{2}}
[/mm]
>
> M Kegelstumpf = [mm]\wurzel{(r_1-r_2)^2 *0,5+h^2}*(r_1+r_2)\pi[/mm]
>
> Die Grundfläche des Kegelstumpfs :
>
> G Kegelstumpf = [mm](r_1)^2*\pi[/mm]
>
> Für die Mantelfläche des Kegels brauch ich wieder erst
> [mm]s_2:[/mm]
>
> [mm](s_2)^2= h^2[/mm] + [mm](r_2)^2[/mm]
>
> [mm]s_2= \wurzel{h^2 + r_2^2}[/mm]
>
> M Kegel = [mm]r_2 *(\wurzel{h^2 + r_2^2})* \pi[/mm]
>
> Damit wäre der Oberflächeninhalt des Restkörpers:
>
> O [mm]=\wurzel{(r_1-r_2)^2 *0,5+h^2}*(r_1+r_2)\pi[/mm] + [mm](r_1)^2*\pi[/mm]
> + [mm]r_2 *(\wurzel{h^2 + r_2^2})* \pi[/mm]
>
>
> Stimmt das so oder hab ich mal wieder irgendwas falsch
> gemacht / falsch verstanden???
>
> Freu mich auf euer Feedback!
>
> Liebe Grüße,
> Kati
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:55 Do 25.01.2007 | | Autor: | kati93 |
Erstmal vielen lieben dank,dass du mir geantwortet hast
Aber warum ist bei dir [mm] s=\wurzel{(r_1-r_2)^2 +h^2} [/mm] ?
Ich hab mir da ein rechtwinkliges Dreieck eingemalt, mit der Höhe h, der Mantellinie s und die Kathete die in der Grundkreisfläche des Kegels liegt, nennen wir sie einfach mal x. Wenn ich [mm] r_2 [/mm] von [mm] r_1 [/mm] subtrahiere erhalte ich ja 2x, weil es auf der anderen Seite des Kegelstumpfes ja das gleiche ist. verstehst du was ich mein? Komisch zu erklären...
und deshalb ist bei mir x= [mm] (r_1-r_2)^2*0,5 [/mm] und damit s [mm] =\wurzel{(r_1-r_2)^2 *0,5 +h^2}
[/mm]
Wahrscheinlich bin ich mal wieder falsch, aber ich versteh noch nicht so ganz warum..... ???
Liebe Grüße, Kati
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:31 Do 25.01.2007 | | Autor: | kati93 |
Ach natürlich!!!! Jetzt!!!!
Bin die ganze Zeit irgendwie noch gedanklich bei ner Pyramide gewesen,da musste ich das ein paar aufgaben vorher machen und da hat ich die kantenlänge gegeben und da musst ich *0,5 machen. Aber hier gehts ja um den radius!!! Bin die ganze zeit vom durchmesser ausgegange! Wie peinlich!!
Stimmt meine Formel für die Oberfläche des Restkörpers dann so:
[mm] O=\pi( \wurzel{(r_1-r_2)^2 + h^2} [/mm] * [mm] (r_1+r_2) [/mm] + [mm] r^2 [/mm] + [mm] r_2(\wurzel{h^2+r^2}))
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:42 Do 25.01.2007 | | Autor: | Mary15 |
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> [mm]O=\pi( \wurzel{(r_1-r_2)^2 + h^2}[/mm] * [mm](r_1+r_2)[/mm] + [mm]r^2[/mm] +
> [mm]r_2(\wurzel{h^2+r^2}))[/mm]
so stimmt! :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:45 Do 25.01.2007 | | Autor: | kati93 |
super! Vielen lieben Dank für die Hilfe!
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
. . . . ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Wir betrachten ja hier lediglich ein Dreieck.
