Volumenberechnung < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Man berechne das Volumen des Körpers
[mm] K:=\left\{ \pmat{3 & 4 & 0 \\ 4 & 4 & 0 \\ 1 & 0 & 2} * \vektor{x \\ y \\z} | 0 \le x,y,z \le 1\right\} [/mm] |
bisher hab ich gerechnet:
[mm] K:=\left\{ \vektor{3x+4y \\ 4x+4y \\ x+2z} \in \IR^3 | 0 \le x \le 7, 0 \le y \le 8 , 0 \le z \le 3\right\} [/mm]
aber ich glaub die grenzen die ich da hingeschrieben hab sind falsch, ich versteh nicht ganz wie man die aufgabe lösen muss.
ich weiß nur ich muss die grenzen bestimmen das dreifach integral lösen mit der konstenten funktion 1 und dann hab ich das volumen.
|
|
| |
|
Schreibe das anders. [mm]K[/mm] besteht aus allen Elementen des [mm]\mathbb{R}^3[/mm] von der Form
[mm]x u + y v + z w \ \ \text{mit} \ \ u = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} \, , \ \ v = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} \, , \ w = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \ \ \text{und} \ \ x,y,z \in [0,1][/mm]
Das ist also nichts anderes als das von [mm]u,v,w[/mm] aufgespannte Parallelepiped ("schiefer Quader").
|
|
|
| |
|
hmm ich versteh leider immer noch nicht so ganz wie ich die aufgabe lösen soll, stehe da noch immer auf dem schlauch
|
|
|
| |
|
hehe ja das hab ich auch gerade eben gefunden, hab da ein volumen von 8 heraus. aber könnte man diese aufgabe auch mit einem dreifach integral lösen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:21 Mo 22.12.2008 | | Autor: | Dath |
Wie würdest du das mit einem dreifachen Integral lösen wollen?
Die Spatproduktidee ist meines Erachtens die einfachste Möglichkeit die Aufgabe zu lösen, aber vielleicht siehst du etwas, was ich übersehe, ich würde mich freuen.
|
|
|
| |
|
Hallo!
Das läßt sich mit dem Dreifachintegral tatsächlich lösen, allerdings macht dich das nicht wirklich glücklich.
[mm] $V=\iiint 1\,du\,dv\,dw$
[/mm]
Das löst du am besten, indem du zu den Koordinaten x, y, z übergehst:
[mm] $V=\iiint_{[0;1]^3}1*det(D)\,dx\,dy\,dz$
[/mm]
Das D ist die Jacobimatrix der Abbildung [mm] \vektor{x\\y\\z}\mapsto\vektor{u\\v\\w}
[/mm]
Dummerweise ist dieses D genau die Matrix, die du da in der Aufgabenstellung stehen hast, und det(D)=8. Das bringt dir dann:
[mm] $V=\iiint_{[0;1]^3}8\,dx\,dy\,dz=8$
[/mm]
Das hat übrigens auch durchaus seinen Sinn. Für die Volumenberechnung mittels Integral zerlegst du die Figur in kanonischen Koordinaten durch Schnitte entlang der zu den Achsen parallelen Ebenen in viele kleine Würfelchen, deren Volumina du aufaddierst. Es ist klar, daß ein Würfel mit der Kantenlänge 1 das Volumen 1 hat.
Wählst du jetzt ein anderes Koordinatensystem, kannst du dir nicht mehr sicher sein, daß so ein kleines Volumen (muß ja kein Würfel mehr sein), das entsteht, wenn man zu den Koordinatenkomponenten jeweils 1 addiert, gleich 1 ist. Du brauchst eine Info darüber, wie groß diese Volumina tatsächlich sind, und genau das leistet die Jacobi-Matrix bzw. ihre Determinante.
|
|
|
|
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
hier