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| Aufgabe | Ein Football hat die Länge 11.25 inch und die Breite 7 inch (1 inch=2.54 cm). Berechnen Sie das Volumen in [mm] cm^3 [/mm] der durch Rotation einer Parabel um die x-Achse entsteht. Berechnen Sie zunächst die Gleichung der Randparabel.
Die Gleichung der Randparabel hat die Form [mm] f(x)=ax^2+b [/mm] |
Habe mit inch gerechnet:
bekannt sind ja die beiden Punkte [mm] P_1 [/mm] und [mm] P_2:
[/mm]
[mm] P_1 \left(\bruch{11.25}{2}|0 \right)
[/mm]
[mm] P_2 \left(0|-\bruch{7}{2}\right)
[/mm]
Diese beiden Bedingungen ergeben für die Funktionsform:
I: [mm] f(x)=0=a*\left(\bruch{11.25}{2}\right)^2+b
[/mm]
II: [mm] f(x)=-\left(\bruch{7}{2}\right)=a*0^2+b
[/mm]
[mm] \Rightarrow b=-\left(\bruch{7}{2}\right)
[/mm]
b eingesetzt in I ergibt dies:
[mm] 0=a*\left(\bruch{11.25}{2}\right)^2-\left(\bruch{7}{2}\right)
[/mm]
nach Umstellung ergab dies [mm] a=\left(\bruch{14}{(11.25)^2}\right) [/mm] (mit 16 [mm] erweitert)=\left(\bruch{224}{2025}\right)
[/mm]
Für die untere Randparabel des Footballs hatte ich nun die Gleichung:
[mm] f(x)=\left(\bruch{224}{2025}\right)*x^2-\left(\bruch{7}{2}\right)
[/mm]
Jetzt meine Frage: Um das Volumen auszurechnen gilt ja die Formel:
[mm] V_{Rotationsvolumen}=\pi*\integral_{a}^{b}{(f(x))^2 dx}
[/mm]
Soll ich jetzt mit der ermittelten Funktionsgleichung von f oder allgemein mit [mm] f(x)=ax^2+b [/mm] weiterrechnen ?
Als Intervall habe ich ja [-a|a] und damit die Formel:
[mm] V_{Rotationsvolumen}=\pi*\integral_{-a}^{a}{(ax^2+b)^2 dx}
[/mm]
Geht das mit (mehrmaliger) partieller Integration ?
Oder kann ich einfach ausmultiplizieren und dann integrieren ?
Zum Schluss mueste ich ja noch die Werte a und b einsetzen und mit dem Taschenrechnen das Volumen ausrechnen. Am Ende natürlich umrechnen in [mm] cm^3 [/mm] !!!
Mit der Bitte um Tipps !
Habe diese Frage in keinem anderen Internetforum gestellt.
Schorsch
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Hallo Gerorg,
> Ein Football hat die Länge 11.25 inch und die Breite 7 inch
> (1 inch=2.54 cm). Berechnen Sie das Volumen in [mm]cm^3[/mm] der
> durch Rotation einer Parabel um die x-Achse entsteht.
> Berechnen Sie zunächst die Gleichung der Randparabel.
>
> Die Gleichung der Randparabel hat die Form [mm]f(x)=ax^2+b[/mm]
Ist die gegeben oder warum nimmt man hier nicht die allg. Form [mm] $ax^2+\red{bx}+c$ [/mm] ?
> Habe mit inch gerechnet:
>
> bekannt sind ja die beiden Punkte [mm]P_1[/mm] und [mm]P_2:[/mm]
>
> [mm]P_1 \left(\bruch{11.25}{2}|0 \right)[/mm]
>
> [mm]P_2 \left(0|-\bruch{7}{2}\right)[/mm]
>
> Diese beiden Bedingungen ergeben für die Funktionsform:
>
>
> I: [mm]f(x)=0=a*\left(\bruch{11.25}{2}\right)^2+b[/mm]
>
> II: [mm]f(x)=-\left(\bruch{7}{2}\right)=a*0^2+b[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow b=-\left(\bruch{7}{2}\right)[/mm]
>
> b eingesetzt in I ergibt dies:
>
> [mm]0=a*\left(\bruch{11.25}{2}\right)^2-\left(\bruch{7}{2}\right)[/mm]
>
> nach Umstellung ergab dies
> [mm]a=\left(\bruch{14}{(11.25)^2}\right)[/mm] (mit 16
> [mm]erweitert)=\left(\bruch{224}{2025}\right)[/mm]
>
> Für die untere Randparabel des Footballs hatte ich nun die
> Gleichung:
>
> [mm]f(x)=\left(\bruch{224}{2025}\right)*x^2-\left(\bruch{7}{2}\right)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") wenn die allg. Parabelgleichung so ist wie oben 
>
> Jetzt meine Frage: Um das Volumen auszurechnen gilt ja die
> Formel:
>
> [mm]V_{Rotationsvolumen}=\pi*\integral_{a}^{b}{(f(x))^2 dx}[/mm]
>
> Soll ich jetzt mit der ermittelten Funktionsgleichung von f
> oder allgemein mit [mm]f(x)=ax^2+b[/mm] weiterrechnen ?
Nein, natürlich mit der ausgerechneten!
>
> Als Intervall habe ich ja [-a|a] und damit die Formel:
Das Intervall liefern dir doch die Randpunkte des Football, also [mm] $I=\left[-\frac{11,25}{2},\frac{11,25}{2}\right]$
[/mm]
>
> [mm]V_{Rotationsvolumen}=\pi*\integral_{-a}^{a}{(ax^2+b)^2 dx}[/mm]
>
> Geht das mit (mehrmaliger) partieller Integration ?
Setze mal die konkrete Funktion und die konkreten Grenzen ein, das Quadrat löse einfach mal auf (binom. Formel beachten), dann kannst du summandenweise integrieren.
>
> Oder kann ich einfach ausmultiplizieren und dann
> integrieren ?
Ah, ja genau, du hast es ja selbst erkannt. Das ist sicher der bequeme Weg so ...
>
> Zum Schluss mueste ich ja noch die Werte a und b einsetzen
> und mit dem Taschenrechnen das Volumen ausrechnen. Am Ende
> natürlich umrechnen in [mm]cm^3[/mm] !!!
>
> Mit der Bitte um Tipps !
>
> Habe diese Frage in keinem anderen Internetforum gestellt.
>
> Schorsch
LG
schachuzipus
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| Aufgabe | Ich nehme also die Formel [mm] V_{Rotationsvolumen}=\pi\cdot{}\integral_{-a}^{a}{(ax^2+b)^2 dx}, [/mm] um das Volumen des Footballs auszurechnen.
Zuerst löse ich die Klammer auf (Binomische Formel) und erhalte:
[mm] V_{Rotationsvolumen}=\pi\cdot{}\integral_{-a}^{a}{(a^2x^4+2abx^2+b^2) dx}=
[/mm]
[mm] \pi\left[\bruch{a^2x^5}{5}+\bruch{2abx^3}{3}+b^2x\right]_{-a}^{a}=
[/mm]
[mm] \pi\left(\left(\bruch{a^7}{5}+\bruch{2a^4b}{3}-b^2a\right)-\left(-\bruch{a^7}{5}+\bruch{2a^4b}{3}-b^2a\right)\right)=
[/mm]
[mm] V_{Rotationsvolumen}=\pi\left(\bruch{2a^7}{5}+2ab^2\right) [/mm] Jetzt jetzte ich [mm] a=\left(\bruch{14*16}{45^2}\right)=\left(\bruch{7*2^5}{3^4*5^2}\right) [/mm] und [mm] b=-\bruch{7}{2} [/mm] in die Gleichung ein und erhalte:
[mm] V_{Rotationsvolumen}=\pi*2.71 inch^3, [/mm] da 1 inch=2.54 cm ist, beträgt das Volumen [mm] \pi*2.71*2.54^3 cm^3= [/mm] 139.5 [mm] cm^3
[/mm]
Dies kommt mir aber sehr klein vor.
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Habe ich mich irgendwo verrechnet ?
Schorsch
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Hallo Gerorg,
du vermasselst dir alles, weil du die Grenzen mit -a und a bezeichnest, diese Variable aber auch als Koeffizient für die Funktion benutzt.
Wenn du partout nicht mit den konkreten Werten der ermittelten Funktion rechnen willst, nenne die Grenzen anders, meinetwegen -t und t ...
Ich komme auf ein Volumen in [mm] inch^3 [/mm] von [mm] $\frac{147}{2}\pi\approx [/mm] 230,9$
Gruß und ![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
schachuzipus
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Hallo nochmal,
vllt. einfacher zu rechnen:
Anstatt von -11.25/2 bis 11.25/2 (bzw. -t bis t) zu integrieren kannst du wegen der Symmetrie auch von 0 bis t (bzw. 0 bis 11.25/2) integrieren und das Ganze mal 2 nehmen ...
LG
schachuzipus
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Ja Schachuzipus, hätte mir doch einiges an Rechnen gespart...
Schorsch
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Danke Schachuzipus,
habe das mal von Null bis zur oberen Intervallgrenze berechnet und dann verdoppelt. Ging tatsächlich schneller...
Schorsch
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Danke Schachuzipus !
Jetzt hab´ich´s kapiert !
Dann kann ja nichts Anständiges herauskommen. Rechne morgen mit den richtigen Intervallgrenzen weiter und werde dann wohl auf Dein Ergebnis kommen...Vielen Dank für Deine Bemühungen. Ist auch unschön in der Aufgabenstellung (oder eine eingebaute Falle ?), wenn man in der Funktion die Variablen a und b hat und dann auch noch mit einem Intervall arbeiten soll. Hatte ich bisher auch noch nicht drüber nachgedacht, dass man den Intervallgrenzen ruhig andere Namen geben kann, z.B. u=untere und o=obere Intervallgrenze...
Schorsch
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Hatte ich bisher auch noch nicht
> drüber nachgedacht, dass man den Intervallgrenzen ruhig
> andere Namen geben kann, z.B. u=untere und o=obere
> Intervallgrenze...
Hallo Schorsch,
der Buchstabe o oder O ist als Variablenbezeichnung in der
Mathematik auch nicht gerade das Gelbe vom Oi
Grund: Verwechslung mit 0 = Null ist fast zwangsläufig ...
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:43 Mi 25.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> dass man den Intervallgrenzen ruhig
> andere Namen geben kann, z.B. u=untere und o=obere
> Intervallgrenze...
>
> Schorsch
Tolle Idee, denn dann ist das ganze in jeder Sprache der Welt verständlich
FRED
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| Aufgabe | Wie Schachuzipus wohl richtig bemerkt hat, muss ich, um nicht durcheinander zu kommen, entweder die Intervallwerte nehmen oder bis zum Einsetzen der Werte eine andere Bezeichnung als [-a;a] verwenden ! Ich nehme mal [-i;i] und schreibe die Formel so:
[mm] V_{Rotationsvolumen}=\pi\cdot{}\integral_{-i}^{i}{(ax^2+b)^2 dx}
[/mm]
zur Erinnerung nochmal: [mm] a=\left(\bruch{14*16}{45^1}\right)=\left(\bruch{7*2^5}{3^4*5^2}\right) [/mm] und [mm] b=-\left(\bruch{7}{2}\right) [/mm] sowie dem Intervall [mm] [-i;i]=\left[-\left(\bruch{11.25}{2}\right);\left(\bruch{11.25}{2}\right)\right]. [/mm] umgewandelt in Potenz-Brüche [mm] \left[\left(-\bruch{3^2*5}{2^3}\right);\left(\bruch{3^2*5}{2^3}\right)\right]
[/mm]
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Ich multipliziere wieder aus:
[mm] V_{Rotationsvolumen}=\pi\cdot{}\integral_{-i}^{i}{(a^2x^4+2abx^2+b^2) dx}=
[/mm]
[mm] V_{Rotationsvolumen}=\pi\left[\bruch{a^2x^5}{5}+\bruch{2abx^3}{3}+b^2x\right]_{-i}^{i}=
[/mm]
[mm] V_{Rotationsvolumen}=\pi\left(\left(\bruch{a^2i^5}{5}+\bruch{2abi^3}{3}+b^2i\right)-\left(-\bruch{a^2i^5}{5}-\bruch{2abi^3}{3}-b^2i\right)\right)=
[/mm]
[mm] V_{Rotationsvolumen}=2\pi\left(\bruch{a^2i^5}{5}+\bruch{2abi^3}{3}+b^2i\right)=
[/mm]
[mm] V_{Rotationsvolumen}=2\pi\left(\bruch{7^2*2^10*3^10*5^5}{3^8*5^5*2^{15}}-\bruch{2^5*7^2*3^6*5^3}{3^5*5^2*2^9}+\bruch{7^2*3^2*5}{2^2*2^3}\right)= [/mm] jetzt kürzen:
[mm] V_{Rotationsvolumen}=2\pi\left(\bruch{3^2*7^2}{2^5}-\bruch{3*5*7^2}{2^4}+\bruch{3^2*5*7^2}{2^5}\right)= [/mm] den mittleren Bruch mit 2 erweitern, die 2 (vor [mm] \pi) [/mm] wieder zurück in die Klammer und [mm] 7^2*3=147 [/mm] ausklammern (kompliziert). Dies ergibt:
[mm] V_{Rotationsvolumen}=147\pi\left(\bruch{3-10+15}{2^4}\right)=147\pi\left(\bruch{8}{16}\right)=\left(\bruch{147}{2}\right)\pi \approx [/mm] 230.9 Volumen in [mm] inch^{3} [/mm] (Dies ist umgerechnet in [mm] cm^3 [/mm] (* [mm] 2.54^3) \approx [/mm] 3783.8 [mm] cm^3 [/mm]
Puh, dachte schon, ich habe mich verrechnet. Habe es vielleicht etwas umständlich gemacht. Das mit den Gleichungsumstellungen hätte man sicherlich abkürzen können ! Letztendlich bin ich aber doch froh, das Ergebnis von Schachuzipus (vielen Dank nochmal) bestätigen zu können (und zu dürfen).
Schorsch
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