Volumenberechnung Pyramide < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Das Viereck ABCD sei Grundfläche einer vierseitigen Pyramide mit der Spitze S (8;19;-9,5). Erarbeite eine Handlungsabfolge zur Volumenberechnung der Pyramide und berechne damit dann das Volumen.
A (2;0;1) B (0;0;0) C (2;2;4) D (4;2;5)
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Hallo,
ich soll das Volumen einer Pyramide berechnen.
Ich bin wie folgt vorgegangen.
1. Grundfläche der Pyramide berechnet (Lsg.: 7,48 FE)
- Vektor a (aus AB)
- Vektor b (aus AD)
- mit Hilfe der Winkelberechnung habe ich Alpha bestimmt (Lsg.: 136,9 °)
2. Vektor AC und BD gebildet und daraus den Mittelpunkt ermittelt.
- Mittelpunkt (Lsg.: 2;1;2,5)
3. Abstand zwischen Mittelpunkt und Spitze der Pyramide berechnet (Lsg.: Vektor MS (6;18;-12) = [mm] \wurzel{504}
[/mm]
4. Volumen mit der Formel "1/3 * Grundfläche * Höhe" berechnet
(Lsg.: V= 1/3 * 7,48 * [mm] \wurzel{504} [/mm] = 55,9 VE)
Ist mein Lösungsweg richtig?
Vielen Dank im vorraus!!!
Bye Isa
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Hallo Burschid1,
> Das Viereck ABCD sei Grundfläche einer vierseitigen
> Pyramide mit der Spitze S (8;19;-9,5). Erarbeite eine
> Handlungsabfolge zur Volumenberechnung der Pyramide und
> berechne damit dann das Volumen.
> A (2;0;1) B (0;0;0) C (2;2;4) D (4;2;5)
>
> Hallo,
> ich soll das Volumen einer Pyramide berechnen.
> Ich bin wie folgt vorgegangen.
>
> 1. Grundfläche der Pyramide berechnet (Lsg.: 7,48 FE)
> - Vektor a (aus AB)
> - Vektor b (aus AD)
> - mit Hilfe der Winkelberechnung habe ich Alpha bestimmt
> (Lsg.: 136,9 °)
>
> 2. Vektor AC und BD gebildet und daraus den Mittelpunkt
> ermittelt.
> - Mittelpunkt (Lsg.: 2;1;2,5)
>
> 3. Abstand zwischen Mittelpunkt und Spitze der Pyramide
> berechnet (Lsg.: Vektor MS (6;18;-12) = [mm]\wurzel{504}[/mm]
hier steckt m.E. ein Denkfehler drin!
Du sollst ja allgemein den Rechenweg beschreiben; aber die Länge der Strecke |MS| ist i.a. nicht die Höhe der Pyramide, falls die Spitze eventuell nicht senkrecht über dem Mittelpunkt liegt.
>
> 4. Volumen mit der Formel "1/3 * Grundfläche * Höhe"
> berechnet
> (Lsg.: V= 1/3 * 7,48 * [mm]\wurzel{504}[/mm] = 55,9 VE)
>
> Ist mein Lösungsweg richtig?
> Vielen Dank im vorraus!!!
> Bye Isa
>
>
>
Gruß informix
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Hallo,
vielen Dank für die Hilfe.
Die Grundfläche der Pyramide ist ein Parallelogramm.Wie müsste ich den vorgehen wenn die Pyramide Windschief ist?
Ist denn der Grundgedanke bzgl. der Berechnung richtig?
lg Isa
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Hallo Burschid1,
> Hallo,
> vielen Dank für die Hilfe.
> Die Grundfläche der Pyramide ist ein Parallelogramm.Wie
> müsste ich den vorgehen wenn die Pyramide Windschief ist?
Zuallererst benötigst Du die Ebene E, in der die 4 Punkte A, B, C, D liegen.
Ist [mm]\overrightarrow{n}[/mm] der Normalenvektor der Ebene, dann lautet die Ebenengleichung:
[mm]E:\left(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{OA}\right) \* \overrightarrow{n}=0[/mm]
Zur Ermittlung der Höhe der Pyramide bilde wir die Gerade
[mm]g:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OS}+\lambda \overrightarrow{n}[/mm]
Diese Gerade g wird nun mit der Ebene E geschnitten.
Die Höhe ergibt sich dann als [mm]h=\vmat{\lambda \overrightarrow{n}}[/mm]
> Ist denn der Grundgedanke bzgl. der Berechnung richtig?
Der Grundgedanke ist bis dahin richtig.
Wie Al-Chwarizmi erwähnt hat, ist vorab zu prüfen, ob die Punkte A, B, C, D in einer Ebene liegen.
>
> lg Isa
Gruß
MathePower
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Zuallererst (bevor die Rede von einer
Pyramide sein kann) wäre zu prüfen,
ob die vier Punkte A, B, C, D tatsächlich
in einer gemeinsamen Ebene liegen !
LG
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Hallo,
danke für den Hinweis. Meine Berechnung hat ergeben, dass die 4 Punkte in einer Ebene liegen.
lg Isa
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