Volumenbestimmung einer Hülle < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Guten Tag
Mich beschäftigt schon seit längerer Zeit etwas was ein Bekannter von mir mal versucht hat zu erklären:
Seiner Meinung nach, macht die Hülle einer riesigen bzw. unendlich großen Kugel, die nur 1mm dick ist, 99% des Kugelvolumens aus.
Es gibt wohl eine Formel die dies bestätigt, ich kann sie jedoch nirgenwo finden...
Meiner Meinung nach, ist diese Behauptung paradox. Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?
MfG
Aldoberan
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Hallo Aldoberan, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Das ist geradezu astronomischer Blödsinn.
> Mich beschäftigt schon seit längerer Zeit etwas was ein
> Bekannter von mir mal versucht hat zu erklären:
>
> Seiner Meinung nach, macht die Hülle einer riesigen bzw.
> unendlich großen Kugel, die nur 1mm dick ist, 99% des
> Kugelvolumens aus.
Vielleicht hast Du ihn ja falsch verstanden, aber wenn er das wirklich meint, ist seine Meinung offenbar nicht durch mathematische Kenntnisse beeinflusst.
> Es gibt wohl eine Formel die dies bestätigt, ich kann sie
> jedoch nirgenwo finden...
Das wundert mich nicht. Alle Formeln, die Du findest, würden Deinen Bekannten widerlegen.
Setzen wir mal den Radius r in Millimeter (mm) an.
Das Volumen der ganzen Kugel mit Hülle ist [mm] V_{ges}=\bruch{4}{3}\pi*r^3
[/mm]
Das Volumen der Kugel ohne Hülle ist [mm] V_{innen}=\bruch{4}{3}\pi*(r-1)^3
[/mm]
Also ist das Volumen der Hülle [mm] V_H=\bruch{4}{3}\pi*(r^3-(r-1)^3)=\bruch{4}{3}\pi*(3r^2-3r+1)
[/mm]
Der Anteil der Hülle am Gesamtvolumen: [mm] \bruch{V_H}{V_{ges}}=\bruch{3r^2-3r+1}{r^3}
[/mm]
Wenn jetzt [mm] r\to\infty [/mm] läuft, geht dieser Anteil nicht etwa gegen 99%, sondern gegen Null.
> Meiner Meinung nach, ist diese Behauptung paradox.
Schlimmer noch: sie ist falsch.
> Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?
Das habe ich versucht. Rechne es nach.
Nebenbei: eine Kugel mit einer 1mm dicken Hülle, bei der die Hülle 99% des Gesamtvolumens ausmacht, hat einen Radius von ca. $r=1,2746054114 mm$. Das fällt nicht gerade unter die Kategorie "sehr groß".
Grüße
reverend
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