www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Volumenintegral
Volumenintegral < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Volumenintegral: Zylinderkoordinaten
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:21 Di 17.05.2011
Autor: Lacrim91

Aufgabe
Die Zylinderkoordinaten im [mm] \IR^{3} [/mm] sind definiert durch
[mm] \Phi (r, \varphi, z) = (r\cos\varphi, r\sin\varphi, z) r \in \IR_0^+ , \varphi \in [0,2\pi), z \in \IR [/mm]

Berechnen Sie die Funktionaldeterminante [mm] det J_\phi(r,\varphi, z) [/mm] sowie

[mm]\integral \integral \integral_{M} yzdxdydz [/mm]  für M = [mm] \left\{(x,y,z) \in \IR^{3} | |x|\le 1, x^{2} + y^{2}\le 1, 0 \le z \le y\right\}[/mm]
Skizzieren sie das Integrationsgebiet M.

Hallo,

Die Funktionaldeterminante habe ich schon berechnet, sie ist ja bekanntlich r für Zylinderkoordinaten.

Dann fängt mein Problem aber leider schon an.
Ich will ja das Integral in Zylinderkoordinaten transformieren. Dafür brauche ich erstmal Grenzen...

Ich hatte mir überlegt
[mm] |x| \le 1 \Rightarrow -1 \le x \le 1 [/mm]
[mm]x^{2} + y^{2} \le 1 \Rightarrow |y| \le 1, -1 \le y \le 1[/mm]
[mm]0 \le z \le y \Rightarrow 0 \le z \le1[/mm]

Das heißt, ich habe mMn zumindest schonmal die Grenze für z, nämlich 0 bis 1.

Das heißt, ich habe bisher
[mm] \integral_{0}^{1}\integral\integral r \sin\varphi z r d(r, \varphi, z) [/mm]
Ist das richtig?

Mit Transformation folgt dann ja auch noch
[mm]-1 \le r\cos\varphi \le 1 [/mm]
[mm]-1 \le r\sin\varphi \le 1[/mm]
[mm]r^{2} \le 1 \Rightarrow r \le 1 [/mm]

Nur weiß ich nicht, wie ich jetzt auf die Grenzen für r und [mm] \varphi[/mm] komme. Das integrieren sollte, sobald ich die Genzen habe, dann ja kein Problem mehr darstellen.
Zudem kann ich mir leider auch überhaupt nicht vorstellen, wie das ganze Gebilde aussieht.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Volumenintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:45 Di 17.05.2011
Autor: MathePower

Hallo Lacrim91,


[willkommenmr]


> Die Zylinderkoordinaten im [mm]\IR^{3}[/mm] sind definiert durch
>  [mm]\Phi (r, \varphi, z) = (r\cos\varphi, r\sin\varphi, z) r \in \IR_0^+ , \varphi \in [0,2\pi), z \in \IR[/mm]
>  
> Berechnen Sie die Funktionaldeterminante [mm]det J_\phi(r,\varphi, z)[/mm]
> sowie
>  
> [mm]\integral \integral \integral_{M} yzdxdydz[/mm]  für M =
> [mm] \left\{(x,y,z) \in \IR^{3} | |x|\le 1, x^{2} + y^{2}\le 1, 0 \le z \le y\right\}[/mm]
>  
> Skizzieren sie das Integrationsgebiet M.
>  Hallo,
>
> Die Funktionaldeterminante habe ich schon berechnet, sie
> ist ja bekanntlich r für Zylinderkoordinaten.
>  
> Dann fängt mein Problem aber leider schon an.
>  Ich will ja das Integral in Zylinderkoordinaten
> transformieren. Dafür brauche ich erstmal Grenzen...
>  
> Ich hatte mir überlegt
>  [mm]|x| \le 1 \Rightarrow -1 \le x \le 1[/mm]
>  [mm]x^{2} + y^{2} \le 1 \Rightarrow |y| \le 1, -1 \le y \le 1[/mm]
>  
> [mm]0 \le z \le y \Rightarrow 0 \le z \le1[/mm]
>  
> Das heißt, ich habe mMn zumindest schonmal die Grenze für
> z, nämlich 0 bis 1.
>  
> Das heißt, ich habe bisher
>  [mm] \integral_{0}^{1}\integral\integral r \sin\varphi z r d(r, \varphi, z) [/mm]


Die Grenze von z ist doch abhängig von r und [mm]\varphi[/mm]


>  
> Ist das richtig?
>  
> Mit Transformation folgt dann ja auch noch
>  [mm]-1 \le r\cos\varphi \le 1[/mm]
>  [mm]-1 \le r\sin\varphi \le 1[/mm]
>  
> [mm]r^{2} \le 1 \Rightarrow r \le 1[/mm]
>  
> Nur weiß ich nicht, wie ich jetzt auf die Grenzen für r


Die Grenzen für r bekommst Du aus [mm]x^{2}+y^{2} \le 1[/mm]



> und [mm]\varphi[/mm] komme. Das integrieren sollte, sobald ich die


Die Grenzen für [mm]\varphi[/mm] ergeben sich aus der Kenntnis, daß

[mm]r*\sin\left(\varphi\right) \ge 0[/mm]

sein muss.


> Genzen habe, dann ja kein Problem mehr darstellen.
>  Zudem kann ich mir leider auch überhaupt nicht
> vorstellen, wie das ganze Gebilde aussieht.
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Volumenintegral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:08 Di 17.05.2011
Autor: Lacrim91

Erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort :)

Also bestimme ich erst die Grenzen für r und [mm]\varphi[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

und erhalte dann für z eine Grenze die von diesen beiden Variablen abhängig ist?

Also aus $ x^{2}+y^{2} \le 1 $ erhalte ich ja
$ r \le 1$ ,wegen $ \sin^{2}+\cos^{2} = 1 $
Weiß ich dann schon, dass r von 0 bis 1 geht, weil $ r \in \IR_0^{+}? $ Oder übersehe ich hier jetzt was?

So, dann die Grenze für $ \varphi $
Ich weiß, $ r\cdot{}\sin\left(\varphi\right) \ge 0 $ , weil $ 0 \le y $ ist.
r ist positiv, also muss der $ \sin $ von $\varphi$ positiv sein.
Also habe ich dann als Grenzen für $\varphi$  $ 0 \le \varphi \le \bruch{\pi}{2} $?

Ich habe dann also
$ \integral_{0}^{r\sin\varphi}{\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}\integral_{0}^{1} r^{2} \sin\varphi z d(r, \varphi, z)$

Irgendwie ist meine Grenze für z aber noch falsch, denn wenn ich das ganze dann integriere erhalte ich am Ende als Ergebnis

$-\bruch{1}{6}r^{2}\sin^{2}\varphi$


Bezug
                        
Bezug
Volumenintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:20 Di 17.05.2011
Autor: MathePower

Hallo Lacrim91,


> Erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort :)
>  
> Also bestimme ich erst die Grenzen für r und [mm]\varphi[/mm] und
> erhalte dann für z eine Grenze die von diesen beiden
> Variablen abhängig ist?


Ja.


>  
> Also aus [mm]x^{2}+y^{2} \le 1[/mm] erhalte ich ja
> [mm]r \le 1[/mm] ,wegen [mm]\sin^{2}+\cos^{2} = 1[/mm]
>  Weiß ich dann schon,
> dass r von 0 bis 1 geht, weil [mm]r \in \IR_0^{+}?[/mm] Oder
> übersehe ich hier jetzt was?
>  
> So, dann die Grenze für [mm]\varphi[/mm]
>  Ich weiß, [mm]r\cdot{}\sin\left(\varphi\right) \ge 0[/mm] , weil [mm]0 \le y[/mm]
> ist.
>  r ist positiv, also muss der [mm]\sin[/mm] von [mm]\varphi[/mm] positiv
> sein.
>  Also habe ich dann als Grenzen für [mm]\varphi[/mm]  [mm]0 \le \varphi \le \bruch{\pi}{2} [/mm]?


Nicht ganz, [mm]y=r*\sin\left(\varphi\right) \ge 0[/mm], wenn [mm]0 \le \varphi \le \pi[/mm]


>  
> Ich habe dann also
>  
> [mm]\integral_{0}^{r\sin\varphi}{\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}\integral_{0}^{1} r^{2} \sin\varphi z d(r, \varphi, z)[/mm]
>  
> Irgendwie ist meine Grenze für z aber noch falsch, denn
> wenn ich das ganze dann integriere erhalte ich am Ende als
> Ergebnis
>  
> [mm]-\bruch{1}{6}r^{2}\sin^{2}\varphi[/mm]

>


Zuletzt (das außerste Integral) integrierst Du zwischen festen Grenzen.

Da die Grenzen von z von r und [mm]\varphi[/mm] abhängig sind,
ist dies das innerste Integral über dem zu integieren ist.

Das Volumenintegral kannst Du demnach wie folgt berechnen:

[mm]\integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{\pi}}\integral_{0}^{r*\sin\left(\varphi\right)} r^{2} \sin\left(\varphi\right) z \ dz \ d\varphi \ dr[/mm]

Oder, da die beiden äusseren Integrale vertauschbar sind:

[mm]\integral_{0}^{\pi}{\integral_{0}^{1}}\integral_{0}^{r*\sin\left(\varphi\right)} r^{2} \sin\left(\varphi\right) z \ dz \ dr \ d\varphi[/mm]


Gruss
MathePower
  

Bezug
                                
Bezug
Volumenintegral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:47 Di 17.05.2011
Autor: Lacrim91


> Nicht ganz, [mm]y=r*\sin\left(\varphi\right) \ge 0[/mm], wenn [mm]0 \le \varphi \le \pi[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)



Ups, Denkfehler! Peinlich ^^

Meine Integrale sind

$\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{\pi} [r^{2}sin(\varphi)\bruch{1}{2}z^{2}]_{0}^{rsin\varphi} d \varphi dr$

Eingesetzt
$\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{\pi} \bruch{1}{2}z^{2}r^{3}sin^{3}(\varphi)} d \varphi dr$

Dann
$\integral_{0}^{1} r^{3}[(\bruch{1}{24}\cos({3\varphi})-9\cos(\varphi))]_{0}^{\pi}dr$

Wenn ich dann einsetze erhalte ich
$\integral_{0}^{1} r^{3} \bruch{215}{12} dr$

Daraus erhalte ich
$ [\bruch{215}{48}r^{4} ]_{0}^{1}$

Was dann als Endergebnis ein Volumen von $\bruch{215}{48} wäre. Kann das stimmen oder habe ich noch weitere Denkfehler eingebaut?

Außerdem kann ich mir immer noch nicht vorstellen, über was für ein Gebiet ich eigentlich integriere...

Danke für die Geduld

Bezug
                                        
Bezug
Volumenintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:29 Di 17.05.2011
Autor: MathePower

Hallo Lacrim91,

> > Nicht ganz, [mm]y=r*\sin\left(\varphi\right) \ge 0[/mm], wenn [mm]0 \le \varphi \le \pi[/mm]
>  
> Ups, Denkfehler! Peinlich ^^
>  
> Meine Integrale sind
>
> [mm]\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{\pi} [r^{2}sin(\varphi)\bruch{1}{2}z^{2}]_{0}^{rsin\varphi} d \varphi dr[/mm]
>  
> Eingesetzt
>  [mm]\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{\pi} \bruch{1}{2}z^{2}r^{3}sin^{3}(\varphi)} d \varphi dr[/mm]


Hier muss doch stehen:

[mm]\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{\pi} \bruch{1}{2}r^{\red{4}}sin^{3}(\varphi)} d \varphi dr[/mm]


>  
> Dann
>  [mm]\integral_{0}^{1} r^{3}[(\bruch{1}{24}\cos({3\varphi})-9\cos(\varphi))]_{0}^{\pi}dr[/mm]


Hier muss es doch lauten:

[mm]\integral_{0}^{1} r^{4}[(\bruch{1}{24}\left \red{(}} \ \cos({3\varphi})-9\cos(\varphi))\ \right\red{)}]_{0}^{\pi}dr[/mm]

>  
> Wenn ich dann einsetze erhalte ich
>  [mm]\integral_{0}^{1} r^{3} \bruch{215}{12} dr[/mm]
>  
> Daraus erhalte ich
>  [mm][\bruch{215}{48}r^{4} ]_{0}^{1}[/mm]
>  
> Was dann als Endergebnis ein Volumen von [mm]$\bruch{215}{48}[/mm]
> wäre. Kann das stimmen oder habe ich noch weitere
> Denkfehler eingebaut?
>  
> Außerdem kann ich mir immer noch nicht vorstellen, über
> was für ein Gebiet ich eigentlich integriere...


Nun, das Gebiet stellt m.E. ein Zylinderabschnitt (Zylinderhuf) dar.


>  
> Danke für die Geduld


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
Volumenintegral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:57 Di 17.05.2011
Autor: Lacrim91

Vielen Dank.

Habe meine Fehler korrigiert und bekomme nun [mm] $\bruch{2}{15}$ [/mm] raus, das sollte soweit jetzt eigentlich richtig sein.

Bezug
                                                        
Bezug
Volumenintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:00 Di 17.05.2011
Autor: MathePower

Hallo Lacrim91,

> Vielen Dank.
>  
> Habe meine Fehler korrigiert und bekomme nun [mm]\bruch{2}{15}[/mm]
> raus, das sollte soweit jetzt eigentlich richtig sein.


Jetzt stimmt's. [ok]


Gruss
MathePower

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de