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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:05 Di 31.01.2012 | | Autor: | thadod |
Sehr geehrter Matheraum...
Ich habe leider ein kleines Verständnisproblem mit der folgendes Aufgabe:
i) Die Menge D sei eine ausgefüllte Halbkugel vom Radius R.
ii) Die Menge E sei ein ausgefüllter gerader Kegel der Höhe h über einer Kreisfläche vom Radius R.
Es sollen zunächst die Mengen beschrieben werden, dann ein geeignetes Koordinatensystem gewählt werden. Und dann die Schwerpunktskoordinaten [mm] s_i [/mm] berechnet werden.
Ich komme zunächst zu der Berechnung der Schwerpunktskoordinaten [mm] s_i
[/mm]
Es ergibt sich allgemein: [mm] s_i=\bruch{\integral \integral \integral_D x_i dx_1 dx_2 dx_3}{\integral \integral \integral_D dx_1 dx_2 dx_3}
[/mm]
[mm] \vec{s} [/mm] und [mm] \vec{x} [/mm] sind als kartesische Koordinaten aufzufassen...
Nun zu der Beschreibung meiner Mengen D und E.
Wäre es sinnvoll D gleich in Kugelkoordinaten und E in Zylinderkoordinaten zu beschreiben oder sollte ich diese erst kartesischen Koordinaten beschreiben und dann in Kugelkoordinaten und Zylinderkoordinaten transformieren ???
Ich denke das spielt doch eigentlich keine Rolle oder ???
Ich habe hier mal folgende Skizzen, wie ich anschließend die Mengen D und E beschreiben möchte...
[Dateianhang nicht öffentlich]
Leider bin ich mir bei der Beschreibung der Mengen noch ein wenig unsicher, da ich kein fixiertes r oder fixiertes h habe.
Hier mal, was ich mir in kartesischen Koordinaten gedacht habe:
[mm] D=\left\{ (x,y,z) \in \IR^3 | z \ge 0 , x^2+y^2+z^2=r^2 \right\}
[/mm]
[mm] E=\left\{ (x,y,z) \in \IR^3 | x^2+y^2=r^2-z^2 , 0 \le z \le h \right\}
[/mm]
mfg thadod
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:56 Di 31.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Halbkugel ist richtig,
gerader Kegel ist sowohl die zeichng als auch die gleichung falsch. gezeichnet hast du ein Rotationsparaboloid, gleichung ist wieder ne Halbkugel (bring [mm] z^2 [/mm] nach links.
zeichne dir nen Schnitt in der y-z Ebene, dann hast du ein dreieck mit höhe h auf der Grundlinie 2*R
bestimme mit dem Strahlensatz r(h,z) und setz es in [mm] x^2+y^2=r^2 [/mm] ein.
Aber am besten ist dein vorschlag, das direkt in kugelkoordinaten bzw Zylinderkoordinaten zu machen.
2. du musst nur [mm] s_z [/mm] berechnen, da die anderen aus symmetriegründen bei 0 liegen, auch die volumina von halbkugel und kegel kannst du als bekannt annehmen und höchstens zur Übung ausrechnen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 Di 31.01.2012 | | Autor: | thadod |
Hallo leduart und danke für deine Hilfe...
Ich habe das Gefühl, dass ich mir das ganze irgendwie ein bischen zu schwer mache mit den kartesischen Koordinaten.
Deshalb würde ich das Ganze ganz gerne doch in Kugelkoordinaten und Zylinderkoordinaten machen.
Hier nochmal meine Skizze (verbessert):
[Dateianhang nicht öffentlich]
ich sehe auch gerade, dass ich mich in der Schreibweise der Skizzen ein wenig vertan habe. Es sei [mm] x_1=x, x_2=y, x_3=z
[/mm]
Das ich aus Symmtriegründen nur [mm] x_3=z [/mm] berechnen muss ist mir inzwischen auch klar geworden...
Ich komme nun nochmal zu der Beschreibung meiner Menge D. Also der Halbkugel. Für Den Kegel würde ich das dann ganz gerne selber machen und mich gegebenenfalls nochmal melden.
Halbkugel bzw. Menge D in Kugelkoordinaten:
Ich setze Voraus, dass der Radius der Halbkugel einen beliebiegen Wert annehmen kann. Ich nenne diesen Wert z.B. a.
[mm] D=\left\{ (r,\theta,\phi) \in \IR^3 | 0 \le r \le a , 0 \le \theta \le \bruch{\pi}{2} , 0 \le \phi \le 2\pi \right\}
[/mm]
Damit hätte ich doch eigentlich schonmal meine Grenzen bestimmt und könnte nun die Masse der Halbkugel bestimmen oder ???
Und zwar mit [mm] (\integral_{0}^{2\pi}(\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}(\integral_{0}^{a} r^2 \cdot sin\theta dr)d\theta) d\phi)
[/mm]
Und hierfür ergibt sich dann [mm] Masse=\bruch{2\pi}{3}a^3 [/mm] was ja gleichzeitig auch dem Volumen entspricht
Wie bestimme ich aber, um letztlich den gesammten Schwerpunkt bestimmen zu können, meine Koordinate [mm] x_i [/mm] bzw. [mm] x_3=z [/mm] ???
Kann ich dann einfach mein x wie gewohnt gegen x=r [mm] cos\theta [/mm] tauschen ???
mfg thadod
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:03 Di 31.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, ich würde z statt x nehmen.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:58 Di 31.01.2012 | | Autor: | thadod |
Hallo und danke....
Ich habe nun auch den Kegel berechnet und meine Lösung bereits mit anderen verglichen. So weit alles richtig.
Schwerpunkt Halbkugel: [mm] \vec{s}=(0,0,\bruch{3}{8}a)
[/mm]
Schwerpunkt Kegel: [mm] \vec{s}=(0,0,\bruch{1}{4}h)
[/mm]
Eine Sache, die mir nicht verständlich erklärt wurde habe ich allerdings noch zum Kegel...
Wie komme ich denn bitte auf 0 [mm] \le [/mm] r [mm] \le \bruch{a}{h}(h-z) [/mm] ???
geometrisch ist es mir eigentlich klar.
Wenn ich z=0 habe, ist mein Radius maximal.
Wenn ich z=h habe, ist mein Radius 0.
Somit wird ja ein Kegel beschrieben.
Aber wie kann ich diese Gleichung, also [mm] r=\bruch{a}{h}(h-z) [/mm] herleiten ???
mfg thadod
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:18 Di 31.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
durch ne Zeichnung des querscnits in der x-z oder y-z Ebene. und Strahlensatz von der Spitze gesehen Radius unten R in Höhe z r
dann r/R=(h-z)/z
Gruss leduart
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