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| Aufgabe | Ein gerader Kegel in z-Richtung habe die Höhe h und als grundfläche einen kreis mit Radius R, vgl. Zeichnung.
a) Geben Sie eine Beschreibung der Menge der Punkte (x,y,z) [mm] \in \IR^3 [/mm] an, die zum Kegel gehören
b) Bestimmen Sie eine Koordinatentraansformation, um den Kegel zu parametrisieren. Wie lautet deren Funktionaldeterminante?
c) Bestimmen Sie das Volumen und die Höhe des Schwerpunkts des kegels
[Dateianhang nicht öffentlich] |
Den Kegel hätte ich so beschrieben:
[mm] D=\vektor{R*cos\varphi \\ R*sin\varphi \\ -\bruch{R}{h}*z+R}
[/mm]
mit [mm] \varphi\in[0;2\pi] [/mm] und z [mm] \in[0;h]
[/mm]
wäre das schon aufgabe b?
ich verstehe den unterschied zwischen aufgabe a) und b) nicht ganz.
in a) soll ich meine Menge herleiten, die den Kegel beschreibt und in b) eine Parametriusierung, also auch eine menge.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:11 Fr 06.11.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast die Oberfläche des Kegels versucht zu beschrieben , nicht wie verlangt das Innere
aber auch die Oberfläche ist falsch .Der Radius der Kreise ist doch nicht in jeder Höhe R?
dann bekommst du einen Zylinder! deine z Komponente ist R für z=0 und 0 für z=h
r=r(z) mal als Anfang.
und du willst alle Punkte Innerhalb, also hast du was wor r von 0 bis r geht
Gruss ledum
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Ist das so nun richtig?
[mm] \phi=\vektor{r(z)*cos\varphi \\ r(z)*sin\varphi \\ z}
[/mm]
[mm] r(z)=-\bruch{R}{h}*z+R
[/mm]
mit [mm] \varphi\in[0;2\pi] [/mm] und z [mm] \in[0;h]
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:41 Fr 06.11.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] \Phi [/mm] ist eine Menge von Punkten im [mm] \IR^3 [/mm] wenn du dazuschreibest dass es die Menge der Punkte im [mm] \IR^3
[/mm]
du kannst [mm] \Phi [/mm] auch betrachten als Abbildung von (/phi,z) nach (x,y,z)
als Oberfläche ist es jetzt ein Kegel mit Höhe h und Grundkreis R
nun nur noch das Innere dazunehmen.
Gruß ledum
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ok dann löse ich zuerst aufgabe b)
[mm] \phi(r, \varphi, z)=\vektor{r(z)*cos\varphi \\ r(z)*sin\varphi \\ z}
[/mm]
[mm] r(z)=-\bruch{R}{h}*z+R
[/mm]
mit [mm] \varphi\in[0;2\pi] [/mm] und z [mm] \in[0;h]
[/mm]
partielle Ableitungen:
[mm] \bruch{\partial \phi}{\partial r}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial \phi}{\partial \varphi}=\vektor{-r(z)*sin\varphi \\ r(z)*cos\varphi \\ 0}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial \phi}{\partial z}=\vektor{-\bruch{R}{h}*cos\varphi \\ -\bruch{R}{h}*sin\varphi \\ 1}
[/mm]
Dadruch erhalte ich die Jacobi-matrix:
[mm] D\phi(r, \varphi, z)=\pmat{ 0 & -r(z)*sin\varphi & -\bruch{R}{h}*cos\varphi \\ 0 & r(z)*cos\varphi & -\bruch{R}{h}*sin\varphi \\0 & 0 & 1 }
[/mm]
Die Funktionaldeterminante ist:
[mm] detD\phi(r, \varphi, [/mm] z)=0
stimmt die Lösung?
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Hallo!
zu Punkt a)
im Prinzip hast du die Lösung schon, aber man kann das so schön mathematisch ausdrücken:
[mm] M=\{\vec{x}\in\IR^3|\vec{x}=...; \phi\in[...];...\}
[/mm]
Zu b)
Denk mal nach. Der Betrag der Determinante taucht als Faktor im Integral auf. Dann ist das Integral 0...
Die Jacobi-Matrix wird nicht aus der Parametrisierung deiner Figur berechnet, sondern aus der generellen Umrechnung von polarkoordinaten in karthesische:
[mm] \vektor{x\\y\\z}=\vektor{r\cos\phi\\r\sin\phi\\z}
[/mm]
Also: Leite den rechten Vektor ab. (Zur Kontrolle: Die Determinante ist $r$ )
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Hallo!
> Denk mal nach. Der Betrag der Determinante taucht als
> Faktor im Integral auf. Dann ist das Integral 0...
Ja das fand ich auch komisch, aber ich wusste halt nicht wo der fehler war
> Die Jacobi-Matrix wird nicht aus der Parametrisierung
> deiner Figur berechnet, sondern aus der generellen
> Umrechnung von polarkoordinaten in karthesische:
>
> [mm]\vektor{x\\y\\z}=\vektor{r\cos\phi\\r\sin\phi\\z}[/mm]
ich bin nicht sicher ob ich diesen Satz verstanden habe. Kannst du den Satz vielleicht nochmal anders formulieren?
ich transformiere die variabeln x,y,z in den Variablen r, [mm] \varphi [/mm] und z um.
Bei der Ableitung betrachte ich die transformierten variablen IMMER als variablen, egal ob r, [mm] \varphi [/mm] und z eine lineare, quadratische oder eine Funktion n grades ist, bei der ableitung betrachte ich diese immer als variable und nicht als funktion?
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Hallo!
Die Umrechnung von beliebigen Zylinderkoordinaten [mm] \vektor{r\\ \varphi \\ z} [/mm] in karthesische [mm] \vektor{x\\y\\z} [/mm] erfolgt über
$ [mm] \vektor{x\\y\\z}=\vektor{r\cos\phi\\r\sin\phi\\z} [/mm] $
Daraus berechnest du dir durch Ableiten nach $r_$, [mm] \varphi [/mm] und $z_$ die Jacobi-matrix, daraus dann die Determinante, die eben $r_$ ist.
Und das hat NICHTS mit deinem Kegel zu tun, sondern ausschließlich mit den Zylinderkoordinaten. Denn die Determinante liefert einen allgemeingültigen Umrechnungsfaktor, um das Volumen eines kleinen Flächenstücks, definiert durch [mm] dr\,d\varphi\,dz [/mm] zu berechnen.
Die Parametrisierung des Kegels spielt erst danach, bei den Integralgrenzen wieder eine Rolle.
Anschaulich: Schneide eine dünne Scheibe von einer Toilettenpapier-Rolle, und schneide die Scheibe anschließend wie eine Pizza. Die entstehenden Papierstückchen haben alle die gleiche Dicke dr und Höhe dz, aber ihre Länge ist trotz gleichem Schnittwinkel [mm] d\varphi [/mm] unterschiedlich. Die äußeren sind länger. Genau genommen haben sie die Länge [mm] r*d\varphi [/mm] und so das Volumen [mm] r*d\varphi*dr*dz. [/mm] Dieses r hast du dir aus der Jacobi-Determinante berechnet.
Das Gesamtvolumen der Papierrolle wird dann über ein Integral berechnet, und erst da steckst du die Parametrisierung (Höhe, Innen- und Außenradius) rein.
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Meines Wissens nach muss ich hier folgenden integral lösen:
[mm] \integral_{0}^{h}\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{R}{r dr d\varphi dz}
[/mm]
r ist das ergebnis der funktionaldeterminante.
Ist das integral richtig?
Ist es egal in welcher reihenfolge ich integriere ? oder liegt hier ein Normalbereich vor?
der radius hängt ja von der z achse ab. Das wird glaube ich bei meinem integral nicht berücksichtigt. wie mache ich das?
Hier liegt ein Normalbereich vor richtig?
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Hallo!
Das ist richtig so, wenngleich nicht völlig klar wird, welche Integralgrenzen zu welcher Variablen führen. (Du folgst der Konvention von innen nach außen)
Zum Radius: Du hast ja bereits r(z) irgendwo angegeben. Schreib stattdessen besser mal R(z), weil das sonst zu Verwirrung beim Integrieren führen kann. Damit ist das Integral über r:
[mm] \int_0^{R(z)}r\,dr=\int_0^{R-R*z/H}r\,dr=R-R*z/H
[/mm]
Das Ergebnis von z abhängig. Daraus ergibt sich, daß du die Integration über z erst danach ausführen kannst. Wann du über [mm] \varphi [/mm] integrierst, ist dagegen völlig egal.
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