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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:13 Do 22.05.2008 | | Autor: | chrisi99 |
| Aufgabe | Berechne das Volumen des Körpers, der von der Fläche
[mm] (x^2+y^2+z^2)^2=x
[/mm]
begrenzt wird |
Hallo Leute!
ich war leider fast eine Woche krank und habe jetzt einiges auszuholen.
Im Skriptum finde ich dazu eine Aufgabe, die vollkommen nachvollziehbar ist. Aber wie so oft kann ich es leider nicht auf meine Aufgabe umlegen :(
Für den Satz von Fubini (der bei dem Beispiel angewandt wird) muss ich die Begrenzung als z=f(x,y) darstellen. In dem Beispiel sind weiters die Grenzen im Beispiel vorgegeben (etwa x=0, x=a und y=0, y=a).
Über ein paar gerechnete Beispiele würde ich mich sehr freuen, denn das ganze nimmt in unserem Skriptum nur eine Seite ein und ist etwas chaotisch ;.)
lg
Chris
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> Berechne das Volumen des Körpers, der von der Fläche
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> [mm](x^2+y^2+z^2)^2=x[/mm]
> begrenzt wird
> Hallo Leute!
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> ich war leider fast eine Woche krank und habe jetzt einiges
> auszuholen.
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> Im Skriptum finde ich dazu eine Aufgabe, die vollkommen
> nachvollziehbar ist. Aber wie so oft kann ich es leider
> nicht auf meine Aufgabe umlegen :(
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> Für den Satz von Fubini (der bei dem Beispiel angewandt
> wird) muss ich die Begrenzung als z=f(x,y) darstellen. In
> dem Beispiel sind weiters die Grenzen im Beispiel
> vorgegeben (etwa x=0, x=a und y=0, y=a).
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> Über ein paar gerechnete Beispiele würde ich mich sehr
> freuen, denn das ganze nimmt in unserem Skriptum nur eine
> Seite ein und ist etwas chaotisch ;.)
>
> lg
> Chris
Hallo Chris,
das Stichwort "Satz von Fubini" weckt in mir nur irgendwelche
ferne Erinnerungen...
Ich habe mir aber überlegt, ob man sich die Fläche nicht auch
ganz einfach veranschaulichen und das Volumen elementar
berechnen kann.
Ist P(x/y/z) irgendein Punkt der Fläche, so kann man die Gleichung
[mm](x^2+y^2+z^2)^2=x[/mm]
auch schreiben als:
[mm]r^4=x[/mm]
Dabei ist r der Abstand des Punktes P vom Ursprung.
Wegen [mm]x = r^4[/mm] muss offenbar [mm] x\ge [/mm] 0 gelten. Ferner
kann man sich klar machen, dass [mm] x\le [/mm] 1 sein muss.
Es ist dann möglich, das Volumen der "Blase" durch ein
einfaches Integral (Rotationskörper!) zu berechnen.
LG al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:45 Do 22.05.2008 | | Autor: | chrisi99 |
meinst du [mm] f(x)=r^4 [/mm] von 0 bis 1 integrieren (Profilkurve) und dann um die X-Achse rotieren lassen?
wie kommst du denn auf die Darstellung? Ich habe hier mehrere Funktionen, vielleicht schaffe ich die auf ähnliche Art!
[mm] (x^2+y^2+z^2)^2=x*y*z
[/mm]
[mm] (x^2+y^2+z^2)^2=\bruch{64}{x^2+y^2}
[/mm]
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> meinst du [mm]f(x)=r^4[/mm] von 0 bis 1 integrieren (Profilkurve)
> und dann um die X-Achse rotieren lassen?
Zunächst ist offensichtlich, dass die beschriebene Fläche
rotationssymmetrisch sein muss. Die x-Achse ist Drehachse.
In einer einfachen Skizze (in der x-y-Ebene) ist dann das
rechtwinklige Dreieck O [mm] P_x [/mm] P zu sehen:
O(0/0) , [mm] P_x(x/0), [/mm] P(x/y)
Die Hypotenuse [mm] \overline{OP} [/mm] entspricht r , die Katheten sind x und y
Für die erzeugende Kurve (die man drehen muss, um die Rotationsfläche
zu erzeugen) gilt dann die Gleichung:
y = [mm] \wurzel{r^2 - x^2} [/mm]
Das Volumen ist dann [mm] \integral_{0}^{1}{\pi * y^2 dx} [/mm] = [mm] \pi *\integral_{0}^{1}{ (r^2 -x^2) dx} [/mm] = [mm] \pi *\integral_{0}^{1}{ (\wurzel{x} -x^2) dx}
[/mm]
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> wie kommst du denn auf die Darstellung? Ich habe hier
> mehrere Funktionen, vielleicht schaffe ich die auf ähnliche
> Art!
>
> [mm](x^2+y^2+z^2)^2=x*y*z[/mm]
> [mm](x^2+y^2+z^2)^2=\bruch{64}{x^2+y^2}[/mm]
Das erste Beispiel war schon besonders einfach und bot sich für
eine solche elementare Betrachtung geradezu an.
Ich werde die anderen Beispiele noch anschauen und dir
berichten, falls ich da auch einen leichten Zugang finde.
Beim zweiten Beispiel kann man eventuell die vollständige
Symmetrie ausnützen, beim dritten würde ich [mm] x^2+y^2 [/mm] = [mm] R^2
[/mm]
setzen und schauen, ob sich daraus etwas nützliches ergibt.
LG al-Chwarizmi
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danke für deine Bemühung!
gibt es eine Vorgehensweise, die vielleicht nicht elegant, dafür aber systematisch ist?
Das Herauslesen bestimmter Charakteristika aus der Definitionsgleichung ist nämlich ein gewisser Stolperstein. Aber selbst wenn ich mir unter dem Gebilde etwas vorstellen kann weiß ich nie so genau, was als nächstes zu tun ist (nach welcher Variablen zuerst integrieren oÄ)...
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Sa 24.05.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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