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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:01 Mi 12.04.2006 | | Autor: | magister |
| Aufgabe | Ein Kühlturm eines AKWs hat die Form eines einschaligen Hyperboloids.
Der Durchmesser an der engsten stelle beträgt 80m. die bodenfläche, die 120m tiefer liegt, misst im Durchmesser 120m. Der Kühlturm ist insgesamt 160m hoch. Berchne das Volumen des Kühlturmes. |
Bitte um sehr verständliche Lösung(ansätze)
Keinen Plan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:16 Mi 12.04.2006 | | Autor: | Walde |
hi magister,
also ein einschaliges H. hat die Gleichung
[mm] \bruch{x^2}{a^2}+\bruch{y^2}{b^2}-\bruch{z^2}{c^2}=1,
[/mm]
das kann man leicht er-Google-n. Dabei ist die Höhe die z-Achse. Mein Vorschlag ist es, den Turm von oben nach unten "aufzuschneiden" und die Kurve des Randes zu ermitteln. Die lässt man dann um die Achse rotieren und hat dadurch das Volumen.
Aufschneiden heisst, dass die x-(es geht auch die y-)Koordinate gleich Null gesetzt wird. Man erhält dann
[mm] \bruch{y^2}{b^2}-\bruch{z^2}{c^2}=1
[/mm]
[mm] \gdw y^2=b^2+\bruch{b^2}{c^2}z^2 [/mm] und daraus
[mm] y=f(z)=b\wurzel{1+\bruch{z^2}{c^2}}
[/mm]
Wir brauchen nur den positiven Teil der Wurzel zu betrachten, das entspricht sagen wir mal des rechten Randes des Aufschnitts des Turms. Ich hoffe du kannst es dir vorstellen. Kuck mal ![[]](/images/popup.gif) hier und hier, da sind Bilder von Hyperbol.
In diese Gleichung müssen wir nur die Werte einsetzten, um b und c zu bestimmen. Um es sinnvoll ausrechnen und später dann leicht rotieren lassen zu können, "kippe" ich den Rand um 90° und setze den Koordinatenursprung an die dünnste Stelle des Turms. Ich hab mal ein Bild einer Beispielkurve angefügt, das macht es klar:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wenn wir die Fkt.vorschrift haben, brauchen wir nur noch um die x-Achse (so wie im Bild gesehen) rotieren zu lassen, dann haben wir das Volumen.
1.f(0)=40 an der dünnsten Stelle 80 m Durchmesser
2.f(120)=60 120m tiefer (bei unserem Bild nach rechts) haben wir den Boden mit 120m Durchmesser
Das sind 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten:
Aus 1. folgt b=40
Aus 2. folgt [mm] 60=40*\wurzel{1+\bruch{120^2}{c^2}}
[/mm]
[mm] \gdw (\bruch{3}{2})^2-1=\bruch{120^2}{c^2}
[/mm]
[mm] \gdw c=120*\wurzel{\bruch{4}{5}}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] c=107,33
Wir haben (ich habe [mm] 1/c^2 [/mm] aus der Wurzel gezogen)
[mm] f(x)=\bruch{b}{c}\wurzel{c^2+x^2} [/mm] mit b=40, c=107,33
Das Volumen unseres Rotationskörpers (der 180 m "hoch" ist), der um die x-Achse rotiert ist:
[mm] V=\pi*\integral_{-60}^{120}{ f^2(x) dx}
[/mm]
So, der Rest sollte ein Klacks sein. Rechne und kuck mal lieber alles nach, falls ich mich verrechnet hab. Aber ich denke, so sollte es funktionieren. Ach ja, wenn du das nächste mal ne Frage stellst, schreib wenigstens mal 'Hallo' am Anfang, denn obwohl du "bitte" gesagt hast, hatte ich so nen "Lösung her, zack zack"- Eindruck 
L G walde
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:25 Mi 12.04.2006 | | Autor: | magister |
Hallo Walde,
vielen Dank für die ausführliche Strukturierung und Lösung meiner Frage.
Werde es mir jetzt durchsehen.
Liebe Grüsse
magister
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