Von Dichte auf Wahrscheinlichk < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:03 Di 29.11.2011 | | Autor: | Leon81 |
| Aufgabe | Gegeben ist eine Zufallsvariable X mit der Dichte f auf [mm] (x,x+\Delta{x}).
[/mm]
Bestimme P(X=x)! |
Muss am Freitag einen Vortrag halten, mir ist allerdings folgender Sachverhalt nicht klar.
Es gilt:
[mm] P(x\le{X} \le x+\Delta{x})= \integral_{x}^{x +\Delta x}{f(y) dy}\approx {f(x)}\Delta{x}
[/mm]
Wenn [mm] \Delta{x} \to [/mm] 0, dann ist doch P(X=x)=0.
Nun heißt es aber, dass f(x) die Wahrscheinlichkeit angibt, wenn X in die Nähe von x kommt!
f(x) ist doch aber die Dichte und nicht die Wahrscheinlichkeit selbst.
Wäre sehr dankbar für gute Erklärung.
Danke schon mal im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:28 Di 29.11.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo Leon81,
Deine Überlegung stimmt schon. Bei einer kontinuierlichen Dichte ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X genau den wert x annimmt, gleich Null. Anders sieht die Sache bei einer diskreten Verteilung aus, die Dirac-Impulse enthält. Hier stimmt die Wahrscheinlichkeit, das X = x gilt mit der Höhe des Dirac-Impulses überein.
Mit dem Wording muss man aber aufpassen, f(x) ist die Verteilungsdichte, die Wahrscheinlichkeit ergibt sich aber durch Integration über diese Dichte. Ist diese, wie oben gesagt, kontinuierlich, so ergibt sich für das Auftreten des Wertes X=x wirklich eine Wahrscheinlichkeit von 0.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 Di 29.11.2011 | | Autor: | Leon81 |
Danke Ihnen herzlichst.
Jetzt habe ich es glaube ich.
Der Term in der Ausführung ist doch der Mittelwertsatz eines Integrals.
Also $ [mm] \integral_{x}^{x +\Delta x}{f(y) dy}\approx {f(x)}\Delta{x} [/mm] $.
Nun handelt es sich dann aber um ein Rechteck, also eine diskrete Wahrscheinlichkeit. Daher entspricht f(x)=P(X=x).
Weiß nur nicht woher man weiß, dass f(x) gerade der Mittelwert der Funktion ist. Das ist doch nicht zwingend, oder???
Bitte nicht nur auf meine Frage antworten, sondern meine Theorie bestätigen oder wiederlegen.
Dansehr.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:01 Di 29.11.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
gerne geschehen. Jetzt ist ja nicht mehr von einem Grenzübergang die Rede, sondern es geht nur noch darum, die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall der Breite [mm] \Delta x [/mm] abzuschätzen. Dann ist diese Abschätzung okay. Eine genauere Abschätzung wird man wirklich mit dem Mittelwert bekommen, hier wurde, aus was für immer auch welchen Gründen, die untere Grenze eingesetzt. Mehr steckt eigentlich nicht dahinter. Dennoch, für den Grenzübergang gilt das vorhin bereits Gesagte.
Viele Grüße,
Infinit
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