Von unten- / oben Halbstetig? < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich lerne für Analysis 3 nach Forster und eine einfache Funktion bereitet mir plötzlich Probleme:
f: [mm] \IR \to \IR \cup \{\infty\}
[/mm]
f(x) = 0 für alle x außer an der Stelle 1. Dort soll f(x) = [mm] \infty [/mm] sein.
Nun stelle ich mir die Fragen:
1) Ist f von unten Halbstetig?
2) Ist f von oben Halbstetig?
3) Ist f Lebesgue-Integrierbar?
Bitte korrigiert meine Antwortversuche, falls ich falsch liege:
1) Ist f von unten Halbstetig?
Laut den Bildern bei Wiki http://de.wikipedia.org/wiki/Halbstetigkeit kann sie es nicht sein, da einfach gesagt Sprünge nur dann von unten Halbstetig sind, wenn der Sprungpunkt unten liegt. Da aber der Punkt selbst schon oben liegt sollte sie es nicht sein.
Lese ich nun die Definition von "Von unten Halbstetig" im Forster ergibt sich das selbe:
f: [mm] \IR^{n} \to \IR \cup \{\infty\} [/mm] heißt in x von unten HS, falls zu jedem c [mm] \in \IR [/mm] eine Umgebung U von x existiert so, dass c < f(a) für alle a [mm] \in [/mm] U.
Dh ich wähle nun z.B. c=5 und somit ist f(1) > c gegeben. Betrachtet man nun aber eine beliebig kleine Umgebung U und a [mm] \in [/mm] U ist immer c > f(a) obwohl < gelten müsste für HS. DH f ist auch nach Def Forster nicht von unten HS.
2) Ist f von oben Halbstetig?
Hier scheitert es direkt bei der Wahl c [mm] \in \IR [/mm] mit c > f(x) da in [mm] \IR [/mm] so ein c natürlich nicht existieren kann bei x=1, da dort f(x) = [mm] \infty [/mm] ist.
Somit ist f nach Forster nicht von oben HS.
3) Ist f Lebesgue-Integrierbar? (LI)
Hier würde ich sagen: Ja. Bin aber bei der Begründung nicht sicher.
Ich weiß, dass die Menge auf der f Werte aus [mm] \{+\infty, -\infty\} [/mm] annimmt eine Nullmenge sein muss, damit f LI ist. Dies ist natürlich erfüllt.
Da f im gesamten Definitionsbereich, bis auf auf einer Nullmenge, stetig ist, ist f LI. Richtig? Hinreichend?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:53 So 03.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
alles richtig, aber das mit dem nicht halbstetig hast du nicht gut erklärt, der rechtseitige GW ist 0 also nicht gleich f(x) ebenso der linksseitige.
L Integrierbar ist so richtig.
Gruss leduart
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