Vorgehensweise Eigenvektoren? < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man berechne die EW und EV von
A = [mm] \pmat{ -2 & 2 & -3 \\ 2 & 1 & -6 \\ -1 & -2 & 0 }
[/mm]
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Hallo,
bin neu hier in diesem Forum und würde mich über die Beantwortung meiner Frage sehr freuen. Ich kann Eigenwerte bestimmen und ich kann [mm] \(A [/mm] - [mm] \lambda_{1,2}*E)\vec{x} [/mm] = [mm] \vec{0} [/mm] berechnen.
Jetzt habe ich durch letzteres nach Auflösen Folgendes erhalten:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & -3 & | 0 \\ 0 & 0 & 0 & | 0 \\ 0 & 0 & 0 & | 0 }
[/mm]
In der Lösung steht:
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] 2x_{2} [/mm] - [mm] 3x_{3} [/mm] = [mm] \vec{0} [/mm] <=> [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \alpha [/mm] * [mm] \vektor{3 \\ 0 \\ 1} [/mm] + [mm] \beta [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ 3 \\ 2}
[/mm]
Ich würde mich riesig freuen, wenn mir dieses Vorgehen jemand anschaulich erklären könnte. Vielen Dank!
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Liebe Grüße,
Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:30 Mi 18.06.2008 | | Autor: | djmatey |
Hallo Daniel,
die Eigenvektoren eines Eigenwertes spannen ja einen Eigenraum auf.
Der von Dir bestimmte Eigenraum hat hier die Gestalt einer Ebene, deren Gleichung Du gerade berechnet hast.
Die Äquivalenz stimmt "nur" insofern, als die Ebene auf der rechten Seite die gleiche ist wie die auf der linken, allerdings ist die Parameterdarstellung natürlich nicht eindeutig - die Vektoren (3,0,1) und (-2,1,0) spannen z.B. dieselbe Ebene auf.
Liebe Grüße,
djmatey
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Hallo,
ich habe mich versehentlich nicht klar genug ausgedrückt. Ich verstehe leider überhaupt nicht, wie man von x1 + 2x2 -3x3 = 0 auf die unten angegebene Lösung kommt :(
Weiß jemand, wie das geht?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:51 Mi 18.06.2008 | | Autor: | djmatey |
Hallo nochmal,
Du formst die Koordinatenform der Ebenengleichung in die Parameterform um.
Ich kenne dazu die folgende Vorgehensweise:
Isoliere erstmal in der Koordinatenform [mm] x_{1}
[/mm]
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] -2x_{2}+3x_{3}
[/mm]
"Fülle" dann die restlichen beiden Gleichungen auf:
[mm] x_{2} [/mm] = [mm] 0x_{1}+1x_{2}+0x_{3}
[/mm]
[mm] x_{3} [/mm] = [mm] 0x_{1}+0x_{2}+1x_{3}
[/mm]
Betrachtet man die drei Gleichungen zusammen, steht auf der linken Seite Dein Vektor [mm] \vec{x}, [/mm] auf der rechten Seite vor dem [mm] x_{1} [/mm] der Stützvektor der Parameterform, vor [mm] x_{2} [/mm] bzw. [mm] x_{3} [/mm] der 1. bzw. 2. Richtungsvektor.
Du erhältst auf diese Weise die Richtungsvektoren (-2,1,0) und (3,0,1), die die gleiche Ebene aufspannen wie die in Deiner Lösung, d.h. (0,3,2) ist eine Linearkombination von (-2,1,0) und (3,0,1).
LG djmatey
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