Vorgehensweise Minimalpolynom < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:13 Sa 19.09.2015 | | Autor: | Gazoz |
| Aufgabe | | Wir sollen das Minimalpolynom folgender Matrix bestimmen und ich wollte fragen, ob meine Vorgehensweise richtig ist: |
[Dateianhang nicht öffentlich]
http://img5.fotos-hochladen.net/uploads/blockmatrixk9hn36wv1r.png
Diese Matrix ist in Blockgestalt, daher kann man das MP der beiden Blöcke A(rot) und B(grün) einzeln bestimmen. Wenn ein Eigenwert sowohl in Block A, als auch in Block B auftaucht, wäre das Minimalpolynom der Gesamtmatrix M gleich dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Minimalpolynome (zum entsprechenden Eigenwert) der Blöcke A&B.
Nun berechne ich die Eigenwerte des Blocks A: 2, 2
Rechne ich nun (BlockA-2Id) erhalte ich eine Nullzeile, der Rang ist also 1. Da die Dimension der Matrix 2 ist, wäre die Dimension des Kerns 1 (Rangsatz). Da die dim(Ker) gleichzeitig die geometrische Vielfachheit des zugeordneten Eigenwerts angibt, kann es nur einen Jordanblock der Größe 2x2 geben. Somit lautet das MP des Blocks A: [mm] (t-2)^2
[/mm]
Meine erste konkrete Frage: Sind diese Überlegungen mathematisch korrekt?
Alternativ sollte man (BlockA-2Id) berechnen können und den Rang notieren (hier:1); anschließend berechnet man (BlockA-2Id)2 und überprüft, ob der Rang abgenommen hat. Wäre der Rang immer noch 1, wäre das MP: (t-2) . Da der Rang jedoch erneut abgenommen hat (hier Nullmatrix -> Rang 0) lautet das MP des Blocks A: [mm] (t-2)^2
[/mm]
Meine zweite Frage: Sind diese Überlegungen mathematisch korrekt?
_______
Beim Block B geht man analog zu Block A vor:
Den ersten EW kann man ablesen (blaues Kästchen), wegen dem "Nullblock" in der dritten Spalte. Anschließend die EW des orangenen Kästchens berechnen. EW; 2,7,7
Die 2 kann man ignorieren (wg. MP(A), kgV...). Nun (BlockB-7Id): Rang=2, Dim=3 -> dim(Ker)=1
MP(B): [mm] (t-2)(t-7)^2
[/mm]
->MP der Matrix M: [mm] (t-2)^2 (t-7)^2
[/mm]
Entschuldigt den ausschweifenden Text, aber ich würde gerne wissen, ob meine grundsätzliche Vorgehensweise - insbesondere die Berechnung über die Dimension des Kerns (geoV) korrekt ist. Das finde ich persönlich einfacher (und schneller zu berechnen), als [mm] (M-xId)^n [/mm] zu berechnen und zu schauen, ab wann der Rang nicht mehr abnimmt.
Vielen Dank, wenn sich jemand die Mühe macht, meine Fragen zu beantworten!
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: ![[]](/images/popup.gif) hier ,aber leider keine konkrete Antwort erhalten
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:01 Di 22.09.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
