Vorkurs Aufgabe 1.4) < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | $ f(x) = [mm] \bruch{x^4 - 17 x^2 + 16}{3 x^2} [/mm] $
4. Betrachten Sie einen Punkt P(u;v) auf dem Graphen von f mit 1< u <4.
Die Parallele zur x-Achse durch P, die y-Achse und die Verbindungsstrecke von P zum tiefsten Punkt der Näherungsfunktion a(x) bilden ein Dreieck.
Weisen Sie nach, dass es unter diesen Dreiecken eines gibt, das den kleinsten Flächeninhalt besitzt.
tiefste Punkt von a(x), T(0|-17/3) |
Also ich hab mir das aufgezeichnet und mit Phytagoras eine Funktion aufgestellt:
[Dateianhang nicht öffentlich]
[mm] d(u)=u^2-\left(-\frac{17}{3}-f(u)\right) \to [/mm] Min.
[mm] d(u)=u^2-\frac{289}{9}-\frac{(u^4-17u^2+16)^2}{9u^4}
[/mm]
[mm] d(u)=u^2-\frac{289}{9}-\frac{u^8+321u^4-34u^6-544u^2+256}{9u^4}
[/mm]
[mm] d'(u)=\frac{43}{9}u-\frac{4}{9}u^3-\frac{1088}{9}u^{-3}+\frac{1024}{9}u^{-5}
[/mm]
[mm] d'(u)=\frac{43u-4u^3}{9(-1088u^2+1024u^5)}
[/mm]
[mm] 0=43-4u^2
[/mm]
[mm] \wurzel{\frac{43}{4}} [/mm] = u
u= 3.27
was falsch ist ... :(
kann mir jemand sagen wo Fehler liegen?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:37 Sa 11.04.2009 | | Autor: | DrNetwork |
liegt der Fehler zufällig darin das ich die kleinste/größte Hypothenuse ausgerechnet hab...? :)
aber sogar dann ist irgendwas nicht in ordnung :)
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Hallo DNetwork,
ist d(u) die Dreiecksfläche, dann heißt es dann doch: [mm] d(u)=\bruch{u*|(-\bruch{17}{3}-f(u))|}{2} [/mm] ? (u=1.Kathete des rechtwinkligen Dreiecks. Die 2.Kathete=2.Faktor hat einen negativen Wert, deshalb die Betragsstriche !)
d'(u)=0 und man bekommt das Minimum (d''(u)>0). Habe für [mm] u\approx1.52 [/mm] raus...So verstehe ich diese Aufgabe...
Mit Deiner Berechnung (die Formel stimmt nicht ganz, glaube ich) bekommst Du höchstens die Hypotenusen der möglichen Dreiecke...
mfg
Schorsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:36 So 12.04.2009 | | Autor: | DrNetwork |
Okey jetzt hab ich's auch ist auch richtig so:
[mm] A(u)=\frac{u(\frac{17}{3}+f(u))}{2}
[/mm]
[mm] A'(u)=\frac{3u^4-16}{6u^2}
[/mm]
A'(u) [mm] \Rightarrow u_1=1.5196
[/mm]
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Hallo, du hast den Punkt P sicherlich mit B beschriftet, für ein Dreieck gilt [mm] A=\bruch{1}{2}*g*h, [/mm] Grundseite ist Strecke [mm] \overline{CB}, [/mm] Höhe ist Strecke [mm] \overline{CA}, [/mm] die Strecke [mm] \overline{CB} [/mm] ist u, die Strecke [mm] \overline{CA} [/mm] ist [mm] f(u)-(-\bruch{17}{3})
[/mm]
[mm] A(u)=\bruch{1}{2}*u*[f(u)-(-\bruch{17}{3})]
[/mm]
[mm] A(u)=\bruch{u^{4}+16}{6u}
[/mm]
überprüfe deine Funktion, dann Extremwertbetrachtung
Steffi
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Steffis Ansatz ist , glaube ich, einfacher.
Die 2.Kathete [mm] \left(f(u)-(-\bruch{17}{3}\right) [/mm] ist in jedem Fall positiv, dann braucht man auch keine Betragsstriche...
Schorsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:47 So 12.04.2009 | | Autor: | DrNetwork |
ist der gleiche Ansatz ;)
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