Vorwärts-Stabil, Beispiel < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:28 Sa 10.10.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Ein Beispiel zur Vorwärts-Stabilität:
Es sei [mm] f(x):=\sqrt{x+1} [/mm] - [mm] \sqrt{x}, x\ge [/mm] 0
f'(x)= [mm] \frac{1}{2 \sqrt{x+1}}-\frac{1}{2 \sqrt{x}} [/mm] = - [mm] \frac{\sqrt{x+1} -\sqrt{x}}{2 \sqrt{x+1} \sqrt{x}}
[/mm]
(1) [mm] K_{rel}:= [/mm] | f'(x) * [mm] \frac{x}{f(x)}|= \frac{1}{2} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}}<\frac{1}{2}
[/mm]
Die Funktion ist gut konditioniert und sollte sich daher genau auswerten lassen.
Es sei nun x [mm] \in [/mm] R und [mm] \overline{f} [/mm] (x) sei der folgene Algorithmus:
[mm] z_1= \Box(x+1)
[/mm]
[mm] z_2= \Box\sqrt{z_1}
[/mm]
[mm] z_3= \Box \sqrt{x}
[/mm]
[mm] z_4= \Box(z_2 [/mm] - [mm] z_3)
[/mm]
[mm] \overline{f}= z_4
[/mm]
Dann gilt:
[mm] z_1= [/mm] (x+1) (1+ [mm] \epsilon_1)
[/mm]
(2) [mm] z_2 [/mm] = [mm] \sqrt{z_2} (1+\epsilon_2)= \sqrt{(x+1)(1+\epsilon_1)}(1+ \epsilon_2) \approx \sqrt{(x+1)}(1+\frac{1}{2}\epsilon_1 [/mm] + [mm] \epsilon_2)
[/mm]
[mm] z_3= [/mm] sqrt(x) [mm] (1+\epsilon_3)
[/mm]
(2) [mm] z_4= (z_2-z_3)*(1+\epsilon_4) [/mm] = [mm] (\sqrt{x+1}-\sqrt{x}+\sqrt{x+1}(1/2 \epsilon_1 [/mm] + [mm] \epsilon_2) [/mm] - [mm] \epsilon_3 \sqrt{x}) [/mm] (1 + [mm] \epsilon_4) \approx \sqrt{x+1} [/mm] - [mm] \sqrt{x} [/mm] + [mm] \sqrt{x+1} (\frac{1}{2}\epsilon_1 [/mm] + [mm] \epsilon_2 [/mm] + [mm] \epsilon_4) [/mm] - [mm] \sqrt{x} (\epsilon_3 [/mm] + [mm] \epsilon_4)= \overline{f}(x)
[/mm]
(3) Die Fehlerterme [mm] \epsilon_i [/mm] können negativ sein. Der absolute Gesamtfehler ist durch:
[mm] \frac{3}{2} \sqrt{x+1} [/mm] eps + [mm] \sqrt{x} [/mm] eps + [mm] (\sqrt{x+1} -\sqrt{x}) [/mm] eps
bestmöglich abgeschätzt. Also gilt:
[mm] |\frac{\overline{f}(x)-f(x)}{f(x)}| \le (\underbrace{\frac{3/2 \sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}}_{\approx 5x \mbox{für} x\rightarrow \infty} [/mm] +1) eps
Der Algorithmus [mm] \overline{f} [/mm] ist nicht vorwärts stabil. |
Hallo,
![[]](/images/popup.gif) http://uni.walljumper.de/Sonstiges/nula_ss09_skript_kap_8_090710.pdf
S.16/17
Unsere Bezeichnungen:
eps ist die Maschienengenauigkeit
[mm] \Box(x)... [/mm] Rundung von x zur nächstgelegenen Maschinenzahl
[mm] \Box(x)=x(1+\epsilon) [/mm] mit [mm] |\epsilon| \le [/mm] eps
Frage 1:
Wie kommt man auf die schöne Form von [mm] K_{rel} [/mm] ??
Ich erhalte
[mm] K_{rel}:= [/mm] | f'(x) * [mm] \frac{x}{f(x)}| [/mm] = |- [mm] \frac{x(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})}{(2 \sqrt{x+1}\sqrt{x})*(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})}|= \frac{1}{2}| [/mm] - [mm] \frac{x \sqrt{x+1} - x \sqrt{x}}{x \sqrt{x} +\sqrt{x} - x \sqrt{x+1}}|
[/mm]
Frage 2:
Wie wird in [mm] z_2 [/mm] und [mm] z_4 [/mm] jeweils approximiert?
Ich verstehe nicht wie man auf [mm] \sqrt{(x+1)(1+\epsilon_1)}(1+ \epsilon_2) \approx \sqrt{(x+1)}(1+\frac{1}{2}\epsilon_1 [/mm] + [mm] \epsilon_2) [/mm] kommt.
Frage 3:
Wie kommt man nun auf diesen Gesamtfehler? Ab da an verstehe ich das gar nicht mehr ;((
Ich würde mich sehr freuen, wenn mir das Beispiel wer erklären könnte! Würde das gerne verstehen!
LG,
sissi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mo 12.10.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> Ein Beispiel zur Vorwärts-Stabilität:
> Es sei [mm]f(x):=\sqrt{x+1}[/mm] - [mm]\sqrt{x}, x\ge[/mm] 0
> f'(x)= [mm]\frac{1}{2 \sqrt{x+1}}-\frac{1}{2 \sqrt{x}}[/mm] = -
> [mm]\frac{\sqrt{x+1} -\sqrt{x}}{2 \sqrt{x+1} \sqrt{x}}[/mm]
> (1)
> [mm]K_{rel}:=[/mm] | f'(x) * [mm]\frac{x}{f(x)}|= \frac{1}{2} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}}<\frac{1}{2}[/mm]
>
> Die Funktion ist gut konditioniert und sollte sich daher
> genau auswerten lassen.
> Es sei nun x [mm]\in[/mm] R und [mm]\overline{f}[/mm] (x) sei der folgene
> Algorithmus:
> [mm]z_1= \Box(x+1)[/mm]
> [mm]z_2= \Box\sqrt{z_1}[/mm]
> [mm]z_3= \Box \sqrt{x}[/mm]
>
> [mm]z_4= \Box(z_2[/mm] - [mm]z_3)[/mm]
> [mm]\overline{f}= z_4[/mm]
>
> Dann gilt:
> [mm]z_1=[/mm] (x+1) (1+ [mm]\epsilon_1)[/mm]
> (2) [mm]z_2[/mm] = [mm]\sqrt{z_2} (1+\epsilon_2)= \sqrt{(x+1)(1+\epsilon_1)}(1+ \epsilon_2) \approx \sqrt{(x+1)}(1+\frac{1}{2}\epsilon_1[/mm]
> + [mm]\epsilon_2)[/mm]
> [mm]z_3=[/mm] sqrt(x) [mm](1+\epsilon_3)[/mm]
> (2) [mm]z_4= (z_2-z_3)*(1+\epsilon_4)[/mm] =
> [mm](\sqrt{x+1}-\sqrt{x}+\sqrt{x+1}(1/2 \epsilon_1[/mm] +
> [mm]\epsilon_2)[/mm] - [mm]\epsilon_3 \sqrt{x})[/mm] (1 + [mm]\epsilon_4) \approx \sqrt{x+1}[/mm]
> - [mm]\sqrt{x}[/mm] + [mm]\sqrt{x+1} (\frac{1}{2}\epsilon_1[/mm] + [mm]\epsilon_2[/mm]
> + [mm]\epsilon_4)[/mm] - [mm]\sqrt{x} (\epsilon_3[/mm] + [mm]\epsilon_4)= \overline{f}(x)[/mm]
>
> (3) Die Fehlerterme [mm]\epsilon_i[/mm] können negativ sein. Der
> absolute Gesamtfehler ist durch:
> [mm]\frac{3}{2} \sqrt{x+1}[/mm] eps + [mm]\sqrt{x}[/mm] eps + [mm](\sqrt{x+1} -\sqrt{x})[/mm]
> eps
> bestmöglich abgeschätzt. Also gilt:
> [mm]|\frac{\overline{f}(x)-f(x)}{f(x)}| \le (\underbrace{\frac{3/2 \sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}}_{\approx 5x \mbox{für} x\rightarrow \infty}[/mm]
> +1) eps
> Der Algorithmus [mm]\overline{f}[/mm] ist nicht vorwärts stabil.
>
>
> Hallo,
>
> http://uni.walljumper.de/Sonstiges/nula_ss09_skript_kap_8_090710.pdf
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> S.16/17
>
> Unsere Bezeichnungen:
> eps ist die Maschienengenauigkeit
> [mm]\Box(x)...[/mm] Rundung von x zur nächstgelegenen
> Maschinenzahl
> [mm]\Box(x)=x(1+\epsilon)[/mm] mit [mm]|\epsilon| \le[/mm] eps
>
> Frage 1:
> Wie kommt man auf die schöne Form von [mm]K_{rel}[/mm] ??
> Ich erhalte
> [mm]K_{rel}:=[/mm] | f'(x) * [mm]\frac{x}{f(x)}|[/mm] = |-
> [mm]\frac{x(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})}{(2 \sqrt{x+1}\sqrt{x})*(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})}|= \frac{1}{2}|[/mm]
> - [mm]\frac{x \sqrt{x+1} - x \sqrt{x}}{x \sqrt{x} +\sqrt{x} - x \sqrt{x+1}}|[/mm]
>
Du darfst Zähler und Nenner nicht ausrechnen, sondern musst vorher kürzen:
[mm] |-\frac{x(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})}{(2 \sqrt{x+1}\sqrt{x})*(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})}| [/mm] nun die beiden hinteren Klammern gegeneinander wegkürzen! = [mm] |-\frac{x}{(2 \sqrt{x+1}\sqrt{x})}|
[/mm]
> Frage 2:
> Wie wird in [mm]z_2[/mm] und [mm]z_4[/mm] jeweils approximiert?
> Ich verstehe nicht wie man auf
> [mm]\sqrt{(x+1)(1+\epsilon_1)}(1+ \epsilon_2) \approx \sqrt{(x+1)}(1+\frac{1}{2}\epsilon_1[/mm]
> + [mm]\epsilon_2)[/mm] kommt.
[mm] \sqrt{(1+\epsilon_1)}(1+ \epsilon_2) \approx [/mm] (1+0,5 [mm] \epsilon_1-Term [/mm] mit [mm] \epsilon_1^2 [/mm] usw.)*(1+ [mm] \epsilon_2)\approx 1+0,5\epsilon_1 [/mm] -Term mit [mm] \epsilon_1^2 [/mm] usw. + [mm] \epsilon_2 [/mm] + 0,5 [mm] \epsilon_1*\epsilon_2 [/mm] - ...), wobei Produkte aus Epsilons fast keine Rolle gegen epsilons spielen, da ihr Wert viel kleiner ist, verbleibt somit [mm] \approx 1+0,5\epsilon_1 [/mm] + [mm] \epsilon_2 [/mm]
>
> Frage 3:
> Wie kommt man nun auf diesen Gesamtfehler? Ab da an
> verstehe ich das gar nicht mehr ;((
>
>
Das bezieht sich offenbar auf
[mm] z_4 [/mm] = [mm] (\sqrt{x+1}-\sqrt{x}+\sqrt{x+1}(1/2 \epsilon_1+\epsilon_2)- \epsilon_3 \sqrt{x})(1 [/mm] + [mm] \epsilon_4)= (\sqrt{x+1}-\sqrt{x}+\sqrt{x+1}(1/2 \epsilon_1+\epsilon_2)- \epsilon_3 \sqrt{x})+(\sqrt{x+1}*\epsilon_4-\sqrt{x}*\epsilon_4+\sqrt{x+1}(1/2 \epsilon_1+\epsilon_2)*\epsilon_4- \epsilon_3 \sqrt{x}*\epsilon_4)
[/mm]
[mm] \sqrt{x+1}-\sqrt{x} [/mm] ist fehlerfrei
[mm] \sqrt{x+1}(1/2 \epsilon_1+\epsilon_2) [/mm] hat maximal Fehler [mm] \sqrt{x+1}(1/2 [/mm] eps+eps)
[mm] \epsilon_3 \sqrt{x} [/mm] hat maximal Fehler [mm] eps*\sqrt{x}
[/mm]
[mm] (\sqrt{x+1}-\sqrt{x})*\epsilon_4 [/mm] hat maximal Fehler [mm] (\sqrt{x+1}-\sqrt{x})*eps
[/mm]
[mm] \sqrt{x+1}(1/2 \epsilon_1+\epsilon_2)*\epsilon_4 [/mm] und [mm] \epsilon_3 \sqrt{x}*\epsilon_4) [/mm] enthalten beide mindestens zweimal einen [mm] \epsilon-Faktor [/mm] und sind zu vernachlässigen.
Bleibt somit [mm] \sqrt{x+1}(3/2 [/mm] eps)+ [mm] eps*\sqrt{x}+(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})*eps
[/mm]
> Ich würde mich sehr freuen, wenn mir das Beispiel wer
> erklären könnte! Würde das gerne verstehen!
>
> LG,
> sissi
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