Vorzeichenwechsel < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Hey, ich lern zur Zeit zur mündlichen Prüfung in der linearen Algebra und mir ist vorhin folgendes aufgefallen, nämlich kommt es ja beim Zeilen- bzw. Spaltenaustausch beim berechnen der Determinante zu einem Vorzeichenwechsel. |
Wir hatten nun kein formalen Beweis aufgeschrieben. Ich hab mir das mal versucht anhand einer 2x2 und 3x3 Matrix klar zu machen. gibt es auch nen allgemeineren Beweis dafür???
mfg
piccolo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:22 Di 04.08.2009 | | Autor: | Andrey |
Hmm, das kommt drauf an, wie man Determinante definiert hat, es gibt ja mehrere äquivalente Definitionen.
Der Anschauung tut es imho am besten, wenn man sich die Determinante einfach als eine abstrakte Volumenfunktion vorstellt, die bestimmte Normierungsbedingungen erfüllt (für 2x2 liefert sie ja den orientierten Flächeninhalt vom aufgespannten Parallelogram, für 3x3 das volumen vom Spat). Da folgt die von dir erwähnte tatsache mehr oder weniger direkt aus den einfachsten und sehr anschaulichen Forderungen an Volumenfunktionen: die wechseln auch das Vorzeichen, wenn man da zwei argumente vertauscht (denn wenn man zwei spalten vertauscht, ändert sich die orientierung des Spats).
Wenn man die Determinante einfach als formale Formelwurst definiert hat, kann man sich das natürlich auch sehr schnell überlegen:
Angenommen man vertauscht i-te und j-te spalte (aus A erhält man dann A'). Sei [mm] $\pi=(i,j)\in S_n$ [/mm] die Transposition die das anstellt. Dann gilt ja:
$det(A')$
[mm] \overset{definition}{=}\sum\limits_{\sigma\in S_n}sgn(\sigma)a_{1,\sigma(1)}\dots a_{j,\sigma(i)}\dots a_{i,\sigma(j)} \dots a_{n,\sigma(n)}
[/mm]
[mm] \overset{i=\pi(j),j=\pi(i)}{=}\sum\limits_{\sigma\in S_n}sgn(\sigma)a_{1,\sigma(1)}\dots a_{i,(\sigma\circ\pi)(i)}\dots a_{j,(\sigma\circ\pi)(j)} \dots a_{n,\sigma(n)}
[/mm]
[mm] \overset{\pi(k)=k\,\forall\,k\neq i,j}{=}\sum\limits_{\sigma\in S_n}sgn(\sigma)a_{1,(\sigma\circ\pi)(1)}\dots a_{i,(\sigma\circ\pi)(i)}\dots a_{j,(\sigma\circ\pi)(j)} \dots a_{n,(\sigma\circ\pi)(n)}
[/mm]
[mm] \overset{\pi^2=Id}{=}\sum\limits_{\sigma\in S_n}sgn(\sigma\circ\pi\circ\pi)a_{1,(\sigma\circ\pi)(1)}\dots a_{i,(\sigma\circ\pi)(i)}\dots a_{j,(\sigma\circ\pi)(j)} \dots a_{n,(\sigma\circ\pi)(n)}
[/mm]
[mm] \overset{subst\,\mu=\sigma\circ\pi}{=}\sum\limits_{\mu\in S_n}sgn(\mu\circ\pi)a_{1,\mu(1)}\dots a_{i,\mu(i)}\dots a_{j,\mu(j)} \dots a_{n,\mu(n)}
[/mm]
[mm] =\sum\limits_{\mu\in S_n}sgn(\mu)\underbrace{sgn(\pi)}_{=-1}a_{1,\mu(1)}\dots a_{i,\mu(i)}\dots a_{j,\mu(j)} \dots a_{n,\mu(n)}
[/mm]
[mm] =-\sum\limits_{\mu\in S_n}sgn(\mu)a_{1,\mu(1)}\dots a_{i,\mu(i)}\dots a_{j,\mu(j)} \dots a_{n,\mu(n)}
[/mm]
$=-det(A)$
Also... das ist jetzt was sehr einfaches mit imho viel zu vielen symbolen erklärt^^ Wenn man da zwei indizes vertauscht, muss man in der formel halt den Signum mit -1 multiplizieren, das war's auch schon.
Bei dieser anderen Zeilen-Spalten-Entwicklungsformel, da passiert dasselbe nochmal in Grün: wenn man zwei benachbarte Spalten vertauscht, und dann zweimal nach derselben (aber verschobenen) Spalte entwickelt, steht einfach zwei mal dasselbe da, mit einem - davor. Dann muss man im prinzip nur noch den Beweis für permutationen nachahmen, und zeigen, dass bei vertauschung zweier beliebiger Spalten am ende immer das entgegengesetzte Vorzeichen rauskommt
(das kann man sich so Vorstellen: wenn Spalten i und j weit voneinander entfernt sind, und da sind k spalten dazwischen, dann muss i zuerst über diese k spalten zu j hüpfen, dann mit j die plätze tauschen, und danach muss j wieder über die k spalten zurück zur position von i hüpfen, insgesamt also sind $k+1+k=2k+1$ vertauschungen von benachbarten Spalten nötig, also kommt am Ende immer der Faktor [mm] $(-1)^{2k+1}=-1$ [/mm] davor.
Jaa... hat's was geholfen?
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danke für die erklärung, speziell die erste erklärung ist sehr einleuchtend, wir hatten nämlich die determinanten auch mittels der Formel eingeführt, also danke nochmal für die ausführliche antwort
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