Vreteilung von X + Y < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Weiß bei folgender Aufgabe nicht weiter:
X und Y seien unabhängige, binomialverteilite Zufallsvariable. Bestimmen sie die Verteilung von X + Y.
Muss man da jetzt einfach die Formeln für die Binomialverteilungen von X und Y nehmen und dann addieren? Oder gibt es da andere Rechenregeln?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:00 Mo 13.06.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo Sob.Darkangel,
> X und Y seien unabhängige, binomialverteilite
> Zufallsvariable. Bestimmen sie die Verteilung von X + Y.
>
> Muss man da jetzt einfach die Formeln für die
> Binomialverteilungen von X und Y nehmen und dann addieren?
> Oder gibt es da andere Rechenregeln?
Soweit ich mich erinnere, heißt diese Rechenregel "Faltung".
In diese Richtung würde ich mal recherchieren, diese Formel anzuwenden dürfte nicht schwierig sein.
Falls doch, wir haben 24h am Tag geöffnet 
Viele Grüße,
Marc
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Ich habe jetzt gefunden, dass die Faltungsformel folgendermaßen lautet:
[mm] P(X+Y=k)=\summe_{s=0}^{k}p(X=s)*p(Y=k-s)
[/mm]
Verstehen tue ich die Formel, aber wie genau ich jetzt einsetzen soll, weiß ich nicht.
Ich weiß, dass wenn X ~ [mm] Bin(n_{1},p) [/mm] und Y ~ [mm] Bin(n_{2},p) [/mm] X+Y ~ [mm] Bin(n_{1}+n_{2},p) [/mm] sein muss.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:59 Mo 13.06.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo SoB.DarkAngel,
> Ich habe jetzt gefunden, dass die Faltungsformel
> folgendermaßen lautet:
>
> [mm]P(X+Y=k)=\summe_{s=0}^{k}p(X=s)*p(Y=k-s)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Verstehen tue ich die Formel, aber wie genau ich jetzt
> einsetzen soll, weiß ich nicht.
Du mußt nur noch für P(X=s) und P(X=k-s) die Binomialverteilungen einsetzen, und dann so lange umformen...
> Ich weiß, dass wenn X ~ [mm]Bin(n_{1},p)[/mm] und Y ~ [mm]Bin(n_{2},p)[/mm]
> X+Y ~ [mm]Bin(n_{1}+n_{2},p)[/mm] sein muss.
... bis du auf eine Binomialverteilung zu [mm]Bin(n_{1}+n_{2},p)[/mm] kommst.
Viele Grüße,
Marc
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Soweit war ich auch schon,. Dann habe ich nämlich
[mm] P(X+Y=k)=\summe_{s=0}^{k}(\vektor{ n_{1} \\ s}p^{s}(1-p)^{n_{1}-s})(\vektor{ n_{2} \\ k-s}p^{k-s}(1-p)^{n_{2}-k+s})
[/mm]
Aber ich weiß nicht, wie ich das jetzt zu [mm] Bin(n_{1}+n_{2},p) [/mm] umformen soll. Umformungen liegen mir nicht... :-(
Das wäre doch dann:
[mm] P(X+Y=k)=\summe_{s=0}^{k}(\vektor{ n_{1} \\ s}\vektor{ n_{2} \\ k-s}p^{k}(1-p)^{n_{1}+n_{2}-k})
[/mm]
Und weiter?
Kann man [mm] \summe_{s=0}^{k}\vektor{ n_{1} \\ s}\vektor{ n_{2} \\ k-s} [/mm] noch zusammenfassen zu [mm] \vektor{ n_{1}+n_{1} \\ k}? [/mm] Oder muss man da noch Zwischenschritte machen?
Dann wäre ich ja fertig...
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Vielen Dank! 
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