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Hallo! Ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:
(Omega, [mm] \cal{A}, \cal{P}) [/mm] sei ein W-Raum und es sei B [mm] \in \cal{A} [/mm] mit P(B) > 0 gegeben.
Zeigen Sie, dass P(* | B) eine W-Maß auf (Omega, [mm] \cal{A}) [/mm] ist!
Für ein W-Maß muss ja gelten:
1. P(Omega) = 1
2. falls [mm] A_{1}, A_{2},... \in \cal{A} [/mm] disjunkt, so
P( [mm] \bigcup_{i=1}^{unendlich} A_{i}) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{unendlich}P( A_{i})
[/mm]
Jetzt weiß ich aber nicht, wie ich das zeigen soll und außerdem: Wie kann man das * interpretieren? Ist das einfach Multiplikation? Und wenn ja, mit was?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:08 Di 10.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Du sollst einfach nur zeigen, dass für $P(B)>0$ durch
$A [mm] \mapsto [/mm] P(A|B) := [mm] \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ [/mm] (für $A [mm] \in {\cal A}$)
[/mm]
ein W-Maß auf [mm] $(\Omega,{\cal A})$ [/mm] gegeben ist.
Zeige also:
[mm] $P(\emptyset|B)=0$ [/mm] (trivial)
und für eine Folge [mm] $(A_n)_{n \in \IN}$ [/mm] disjunkter Menge aus [mm] ${\cal A}$:
[/mm]
$P [mm] \left( \bigcup\limits_{n \in \IN} A_n |B \right) [/mm] = [mm] \sum\limits_{n \in \IN} P(A_n|B)$.
[/mm]
Auch das Letzteres ist sehr einfach, wenn man über die obige Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit geht und beachtet, dass mit [mm] $(A_n)_{n \in \IN}$ [/mm] auch die Folge [mm] $(A_n \cap B)_{n \in \IN}$ [/mm] disjunkt ist.
Viele Grüße
Julius
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