W-Mass/sigma-Additivität < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:25 Di 29.09.2009 | | Autor: | SusanneK |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo,
ich habe Probleme mit den Begriffen W-Maß und sigma-Additivität.
Wenn ich mit einem Würfel 2mal würfeln darf, dann hat mein Ausgangsraum 36 Elemente.
Was bedeutet jetzt hier:
1.[mm] P(A) \ge 0 [/mm]
2.[mm] P(\Omega)=1 [/mm]
3. sigma-Additivität
Meine Idee:
1. Da der Ausgangsraum nicht leer ist, ist [mm] P(A) = \bruch{1}{36} [/mm]
2. Wenn ich 36 Elemente aus [mm] \Omega [/mm] wähle, erhalte ich 36/36=1
3. Das funktioniet doch nur, wenn z.B. das Element [mm] (1,4) \not= (4,1) [/mm] ist - stimmt das ?
Sind meine Überlegungen richtig ?
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:23 Di 29.09.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin Susanne,
> Wenn ich mit einem Würfel 2mal würfeln darf, dann hat
> mein Ausgangsraum 36 Elemente.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") [mm] $\Omega=\{(1,1),(1,2),\dots,(5,6),(6,6)\}$. [/mm]
> Was bedeutet jetzt hier:
> 1.[mm] P(A) \ge 0[/mm]
> 2.[mm] P(\Omega)=1[/mm]
> 3. sigma-Additivität
>
> Meine Idee:
> 1. Da der Ausgangsraum nicht leer ist, ist [mm]P(A) = \bruch{1}{36}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Es gilt $P(\{\omega}\})=1/36$ fuer alle $\omega\in\Omega$. Im
allgemeinen ist dann $P(A)=\text{Anzahl der Elemente in $A$}/36.
>
> 2. Wenn ich 36 Elemente aus [mm]\Omega[/mm] wähle, erhalte ich
> 36/36=1
> 3. Das funktioniet doch nur, wenn z.B. das Element [mm](1,4) \not= (4,1)[/mm]
> ist - stimmt das ?
siehe oben.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:59 Di 29.09.2009 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Luis,
vielen Dank für deine Hilfe !!
> > Was bedeutet jetzt hier:
> > 1.[mm] P(A) \ge 0[/mm]
> > 2.[mm] P(\Omega)=1[/mm]
> > 3.
> sigma-Additivität
> >
> > Meine Idee:
> > 1. Da der Ausgangsraum nicht leer ist, ist [mm]P(A) = \bruch{1}{36}[/mm]
>
> Es gilt [mm]P(\{\omega}\})=1/36[/mm] fuer alle
> [mm]\omega\in\Omega[/mm]. Im
> allgemeinen ist dann [mm]$P(A)=\text{Anzahl der Elemente in $A$}/36.[/mm]
Bedeutet das, dass A eine Menge mit "günstigen" Elementen ist, also z.B. die Elemente, deren Augenzahlen < 10 sind ?
>
> >
> > 2. Wenn ich 36 Elemente aus [mm]\Omega[/mm] wähle, erhalte ich
> > 36/36=1
> > 3. Das funktioniet doch nur, wenn z.B. das Element
> [mm](1,4) \not= (4,1)[/mm]
> > ist - stimmt das ?
3. verstehe ich noch nicht ganz. Wodurch wird denn definiert, ob [mm](1,4) \not= (4,1)[/mm], oder ist das in einem "diskreten W-Raum" immer so ?
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:54 Di 29.09.2009 | | Autor: | luis52 |
> Hallo Luis,
> vielen Dank für deine Hilfe !!
Gerne.
>
> Bedeutet das, dass A eine Menge mit "günstigen" Elementen
> ist, also z.B. die Elemente, deren Augenzahlen < 10 sind ?
Ja, hier ist [mm] $A=\overline{\{(6,5),(5,6),(6,6)\}}$ [/mm] und folglich $P(A)=33/36$.
> >
> > >
> > > 2. Wenn ich 36 Elemente aus [mm]\Omega[/mm] wähle, erhalte ich
> > > 36/36=1
> > > 3. Das funktioniet doch nur, wenn z.B. das Element
> > [mm](1,4) \not= (4,1)[/mm]
> > > ist - stimmt das ?
> 3. verstehe ich noch nicht ganz. Wodurch wird denn
> definiert, ob [mm](1,4) \not= (4,1)[/mm],
Wenn du oben annimmst, dass gilt [mm] $B=\{(5,6)\}=\{(6,5\}$, [/mm] so muesstest die Wsk von $B_$ im Vergleich zu [mm] $C=\{(6,6)\}$ [/mm] verdoppeln, da $B_$ im Vergleich zu $C_$ sich doppelt so haeufig realisieren kann.
Noch ein Argument: Faellt es dir leichter, wenn man annimmt, dass der eine Wuerfel gruen und der andere rot ist? Wenn ja, wo liegt dann der Unterschied?
> oder ist das in einem
> "diskreten W-Raum" immer so ?
Was meinst du mit "immer"?
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:42 Di 29.09.2009 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Luis,
nochmals vielen Dank für Deine Hilfe und Erklärungen !
> > 3. verstehe ich noch nicht ganz. Wodurch wird denn
> > definiert, ob [mm](1,4) \not= (4,1)[/mm],
>
> Wenn du oben annimmst, dass gilt [mm]B=\{(5,6)\}=\{(6,5\}[/mm], so
> muesstest die Wsk von [mm]B_[/mm] im Vergleich zu [mm]C=\{(6,6)\}[/mm]
> verdoppeln, da [mm]B_[/mm] im Vergleich zu [mm]C_[/mm] sich doppelt so
> haeufig realisieren kann.
Ich stehe irgendwie auf dem Schlauch:
Wenn [mm]B=\{(5,6)\}=\{(6,5)\}[/mm], dann ist doch die Wsk=2/3, und die ist doppelt so gross wie die von C=1/3. Und dann wäre die sigma-Additivität nicht gegeben.
>
> Noch ein Argument: Faellt es dir leichter, wenn man
> annimmt, dass der eine Wuerfel gruen und der andere rot
> ist? Wenn ja, wo liegt dann der Unterschied?
Das macht doch für die Augenzahl nichts aus - oder ?
Bedeutet das, es hängt von der Definition der "günstigen Fälle" ab, ob [mm]\{(5,6)\}=\{(6,5)\}[/mm] ist ?
> > oder ist das in einem
> > "diskreten W-Raum" immer so ?
>
> Was meinst du mit "immer"?
Ich meinte damit, wenn in einer Aufgabe steht, dass es sich um einen "diskreten W-Raum" handelt, dass dann immer [mm]\{(5,6)\} \not= \{(6,5)\}[/mm] ist ?
LG und vielen Dank, Susanne.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:25 Di 29.09.2009 | | Autor: | luis52 |
Ich meine zu erkennen, wo es hakt. Ein W-Modell besteht aus drei Zutaten: [mm] $\Omega$, [/mm] einer Sigma-Algebra [mm] $\mathfrak{A}\subset\mathfrak{P}(\Omega)$ [/mm] und einem Wahrscheinlichkeitsmass [mm] $P:\mathfrak{A}\to[0,1]\,.$ [/mm] Fuer diese Funktion fordert man [mm] $\sigma$-Additivitaet, [/mm] d.h. [mm] $P(\bigcup_{i=1}^\infty A_i)=\sum_{i=1}^\infty P(A_i)$ [/mm] fuer alle [mm] $A_1, A_2, A_3,\dots$ [/mm] mit [mm] $A_i\cap A_j=\emptyset$ [/mm] fuer [mm] $i\ne [/mm] j$.
Loesen wir uns einmal von den zwei Wuerfeln und betrachten zwei Muenzen, deren Seiten 0 oder 1 aufweisen. In diesem Fall kann [mm] $\Omega$ [/mm] so aussehen: [mm] $\Omega_1=\{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)\}$. [/mm] Deine Frage laeuft m.E. darauf hinaus, ob man sagen kann, dass gilt [mm] (0,1)\ne(1,0). [/mm] Wenn ich ein Gleichmoeglichkeitsmodell betrachte, dann ja, denn mit [mm] $\mathfrak{A_1}=\mathfrak{P}(\Omega_1)$ [/mm] ist ein W-Mass gegeben durch
[mm] $P(A)=\frac{\text{Anzahl der Elemente in } A}{4}$.
[/mm]
Man kann aber auch [mm] $\Omega_2=\{(0,0),(1,0),(1,1)\}$ [/mm] betrachten. Hier wuerde (1,0) mit (0,1) gleichgesetzt. Mit [mm] $\mathfrak{A_2}=\mathfrak{P}(\Omega_2)$ [/mm] waere jetzt ein "vernuenftiges" W-Mass gegeben durch
[mm] $P(A)=\sum_{\omega\in A}p(\omega)$,
[/mm]
mit $p(0,0)=p(1,1)=1/4$ und $p(1,0)=1/2$.
Beachte: [mm] $\sigma$-Additivitaet [/mm] bezieht sich auf Elemente von [mm] $\mathfrak{A}$, [/mm] nicht [mm] $\Omega$.
[/mm]
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:39 Di 29.09.2009 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Luis,
VIELEN VIELEN DANK für die tolle und ausführliche Erklärung !
Jetzt ist endlich der Groschen gefallen dank Deines Beispiels und dem BEACHTE-Hinweis.
Liebe Grüsse, Susanne.
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