WLLN und CLT < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:35 Fr 17.06.2011 | | Autor: | aly19 |
| Aufgabe | Sei [mm] (X_n)_n [/mm] Folge stochastisch unabhängiger ZV mit [mm] P(X_n=n^\alpha)=1/2=P(X_n=-n^\alpha) [/mm] für [mm] \alpha \in [/mm] R.
a) z.z. für [mm] \alpha \geq [/mm] 1 gilt das WLLN nicht.
b) z.z. für [mm] \alpha \geq [/mm] -1/2 gilt der CLT. |
hey, vielleicht kann mir dabei ja jemand helfen.
Also zu a) habe ich mir folgendes gedacht.
Es ist ja [mm] EX_i=0 [/mm] und [mm] VX_i=E[X_i^2]=i^{2\alpha}. [/mm]
Also [mm] V(\sum_{i=1}^nX_i)=\sum_{i=1}^n i^{2 \alpha}.
[/mm]
Somit:
P(|1/n [mm] \sum_{i=1}^nX_i-1/n E(\sum_{i=1}^nX_i)|>\epsilon)=P(1/n |\sum_{I=1}^nX_i|>\epsilon)
[/mm]
Und dann müsste ich das ja jetzt irgendwie abschätzen, aber ja nach oben weil ich ja zeigen will, dass das für n gegen unendlich nicht gegen Null geht. Da fällt mir aber leider nichts ein, Tschebyscheff ist ja nur nach unten abschätzen. Kann mir da jemand nen Tipp geben?
zu b)
da die ZV ja nicht gleichverteilt sind könnte man das doch mit der Lindeberg-Bedingung zeigen oder?
also das wäre doch
[mm] L_n(\epsilon)=\bruch{1}{\sum_{i=1}^ni^{2\alpha}}\sum_{j=1}^n\int_{\{|x|\geq \epsilon \sqrt{\sum_{i=1}^ni^{2\alpha}}\}}x^2 dP^{X_j} [/mm] und das muss gegen null gehen.
kann man dann sagen das ja die Summe [mm] \sum_{i=1}^n i^{2\alpha} [/mm] -> [mm] \infty [/mm] geht, weil ja [mm] i^{2\alpha}\geq [/mm] 1 und deswegen geht ja der Vorfaktor gegen Null und die Menge über die integriert wird geht ja auch gegen die leere Menge oder?
Also [mm] L_n(\epsilon)->0 [/mm] für alle [mm] \epsilon>0?
[/mm]
Danke schonmal für eure Hilfe.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Di 21.06.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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