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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:50 Do 14.07.2011 | | Autor: | Fry |
| Aufgabe | [mm](X_n)_{n\in\IN}[/mm] sei eine Folge von stochastisch unabhängigen
Zufallsvariablen mit
[mm]P(X_n=n^a)=\bruch{1}{2}=P(X_n=-n^a)[/mm] für ein [mm]a\in\IR[/mm]
Zu zeigen:
a) Für [mm]a\ge 1[/mm] gilt nicht das schwache Gesetz der großen Zahlen
(d.h. es gilt nicht [mm]\bruch{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-EX_i)\overset{P}{\rightarrow} 0[/mm])
b) Für [mm]a\ge -0,5[/mm] gilt der zentrale Grenzwertsatz. |
Hallo zusammen,
komme bei dieser Aufgabe überhaupt nicht weiter.
Bei a) hab ich erst mit Tschebyscheff rumgerechnet, aber das hilft nur für a<1 weiter.
b) Habs mit der Lindebergbedingung versucht, aber mit diesem Monstrum komm ich nicht so richtig zu Recht, zumal [mm]Var(\sum_{i=1}^{n}X_i)=\sum_{i=1}^{n}i^{2a}[/mm]
Könntet ihr mir vielleicht auf die Sprünge helfen?
Gruß
Fry
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Hey,
also nun ein Tipp zu deinen beiden Teilaufgaben. Ich hoffe sie helfen dir weiter. Ansonsten frag einfach nochmals nach.
zu a)
Hier sieht man zunächst einmal, dass der Erwartungswert der Zufallsvariable $0$ ist. Das erleichtert dir deine Rechnung. Danach würde ich einfach die Markow-Ungleichung anwenden. Dies sollte dich zum gewünschten Ergebnis führen. Das einzige, was du hier noch überlegen musst, ist, wie sich der Erwartungswert über den Betrag der Summe darstellen lässt.
zu b)
Da wir wissen, dass der Erwartungswert von [mm] $X_n$ [/mm] grade $0$ ist, können wir die Varianz ganze einfach über [mm] $Var(X_n)=E(X_n^2)=n^{2\alpha}$ [/mm] ausrechnen. Das müsste deine weiteren Rechnungen nun hoffentlich vereinfachen.
Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:16 Do 14.07.2011 | | Autor: | Fry |
Hey,
vielen Dank für deine Antwort.
Allerdings versteh ich nicht, wie mich das weiterbringen soll.
Zu a) Tschebyscheff und Markov anzuwenden bringt ja eigentlich nur was, wenn ich zeigen will, dass etwas gegen 0 konvergiert bzw in diesem Fall das WLLN gilt. Verstehe nicht, wie ich mit einer Ungleichung zeigen soll, dass das WLLN NICHT gilt.
zu b)Das mit der Varianz hab ich schon benutzt (s.Beitrag)Wie aber berechne ich dann [mm] \bruch{1}{s^2_n}\sum_{i=1}^{n}E[X^2_i*1_{\{|X_i|>\varepsilon s_n\}}] [/mm] ? (wobei [mm] s^_2:=Var(\sum_{i=1}^{n}X_i)
[/mm]
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:17 Do 14.07.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
ich würde die a) über die charakteristische Funktion machen.
Zur b)
$ [mm] \bruch{1}{s^2_n}\sum_{i=1}^{n}E[X^2_i\cdot{}1_{\{|X_i|>\varepsilon s_n\}}]= \bruch{1}{s^2_n} E\left[ \sum_{i=1}^{n} i^{2a}*1_{i^a>\varepsilon s_n}\right]= [/mm] $
Die Indikatorfunktion kannst Du in die Summengrenzen packen. Das Problem ist nur, daß imho das ganze keiner Lindeberg-Bedingung genügt(?). Probier mal Lyapunov.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:19 Fr 15.07.2011 | | Autor: | Fry |
Hey Stefan,
meinst du das klappt damit gut?
Also
[mm]\produkt_{i=1}^{n} \Phi_{X_i}(\bruch{1}{n}t)\to 1[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
müsste ja gezeigt werden.
$P^{X_n}=\bruch{1}{2}*\delta_{n^a}+\bruch{1}{2}*\delta_{-n^a}$
Dann ist die F.T.:
$\Phi_X_n(t)=\bruch{1}{2}*(e^{itj^a+e^{-itj^a})$
[mm]\produkt_{i=1}^{n} \Phi_{X_i}(\bruch{1}{n}t)=(\bruch{1}{2})^n*\produkt_{j=1}^{n} (e^{n^{-1}itj^a}+e^{-n^{-1}itj^a})[/mm]
unschön...
Ja Aufgabenteil b) ist doof...
Liebe Grüße
Fry
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:23 Fr 15.07.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> $ [mm] \Phi_X_n(t)=\bruch{1}{2}\cdot{}(e^{itn^a}+e^{-itn^a}) [/mm] $
Und das ist welche Funktion? Richtig, Kosinus. =)
Alles, was Du zeigen mußt, ist, daß
[mm] $\prod_{j=1}^n \cos\left(t\frac{j^a}{n}\right)$
[/mm]
für [mm] $a\geq [/mm] 1$ nicht gegen 1 konvergiert.
Aufgabenteil (b) würde mich die saubere Lösung interessieren. Man kann durch proof is left as an exercise to the reader sehen, warum die Lyapunov Bedingung erfüllt ist. Aber sauber müßte ich auch erst überlegen. =)
ciao
Stefan
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Hey,
ja, ich merke grade bei der a) habe ich grade einen dummen Fehler gemacht. Tut mir leid. Ich werde mich jetzt etwas mehr konzentrieren. Also
dass der Erwartungswert grade gleich Null ist, ist klar.
Wir haben dann da stehen
[mm] $P\left(\left|\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\right|>\varepsilon\right)=P\left(\left|n^{\alpha-1}\sum_{i=1}^n Z_i\right|>\varepsilon\right)=P\left(\left|\sum_{i=1}^n Z_i\right|>n^{1-\alpha}\varepsilon\right)$,
[/mm]
wobei die [mm] $Z_i$ [/mm] unabhängig uns identisch verteilt sind.
[mm] $P(Z_i=1)=P(Z_i=-1)=\frac{1}{2}$.
[/mm]
Okay, das heißt diese Summe sollte dich jetzt an den Random Walk erinneren. Hier kannst du zum Beispiel auch einfach mal [mm] $\varepsilon=1$ [/mm] setzen. Diese Wahrschienlichkeit solltes du nun ausrechnen können. Stichwort Bernoulliverteilung.
Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:07 Fr 15.07.2011 | | Autor: | Fry |
> Hey,
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> ja, ich merke grade bei der a) habe ich grade einen dummen
> Fehler gemacht. Tut mir leid. Ich werde mich jetzt etwas
> mehr konzentrieren.
Macht doch nix. Bin über jede Hilfe dankbar :)
Also
> dass der Erwartungswert grade gleich Null ist, ist klar.
> Wir haben dann da stehen
> [mm]P\left(\left|\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\right|>\varepsilon\right)=P\left(\left|n^{\alpha-1}\sum_{i=1}^n Z_i\right|>\varepsilon\right)=P\left(\left|\sum_{i=1}^n Z_i\right|>n^{1-\alpha}\varepsilon\right)[/mm],
>
> wobei die [mm]Z_i[/mm] unabhängig uns identisch verteilt sind.
> [mm]P(Z_i=1)=P(Z_i=-1)=\frac{1}{2}[/mm].
> Okay, das heißt diese Summe sollte dich jetzt an den
> Random Walk erinneren. Hier kannst du zum Beispiel auch
> einfach mal [mm]\varepsilon=1[/mm] setzen. Diese Wahrschienlichkeit
> solltes du nun ausrechnen können. Stichwort
> Bernoulliverteilung.
Puh, ich bin ehrlich gesagt überfordert. Könntest du mir helfen?
Wüsste schon nicht, wie die Verteilung der Summe überhaupt lautet,
weiß nicht, wie die n-fache Faltung der symmetrischen Bernoulliverteilung ist...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:41 Fr 15.07.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
ich behaupte jetzt einfach mal, daß die erste Gleichheit in der anderen Antwort Quatsch ist. Die beiden Summen haben zumindest mal verschiedene Wertebereiche und ich sehe nicht, warum selbst für ausgewählte [mm] $\varepsilon$ [/mm] die Wkeiten gleich sein sollten.
Was ist die charakteristische Fkt von [mm] $X_i$ [/mm] bzw. von [mm] $X_i-EX_i$? [/mm] Was ist also die von [mm] $\frac [/mm] 1n [mm] \sum_i X_i$? [/mm] Die eines deterministischen Wertes hatten wir erst in der anderen Frage. Konvergiert das eine gegen das andere?
ciao
Stefan
ciao
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:11 Fr 15.07.2011 | | Autor: | Fry |
Hab dazu oben schon was geschrieben
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:24 Fr 15.07.2011 | | Autor: | Blech |
übersehen, sorry. =)
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