W'keit berechnen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:41 Mi 30.06.2010 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Ein Nachtwächter hat einen Schlüsselbund mit 10 Schlüsseln.
Wenn er eine Tür aufschließen will, zu der genau einer der 10 Schüssel passt, tut er folgendes:
Wenn er nüchtern ist, so probiert er nacheinander einen Schlüssel nach dem anderen aus, ohne dabei einen Schlüssel zweimal auszuprobieren, bis er schließlich den richtigen Schlüssel gefunden hat.
Wenn der Nachtwächter hingegen betrunken ist, so schüttelt er den Schlüsselbund nach jedem erfolglosen Versuch, bis er nicht mehr weiß, welche Schlüssel er schon ausprobiert hat und welche nicht, und wählt dann erneut zufällig einen Schlüssel für seinen nächsten Versuch aus. Dies wiederholt er, bis er den richtigen Schlüssel gefunden hat.
(a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit benötigt der Nachtwächter mindestens 8 erfolglose Versuche,
um eine Tür aufzuschließen, wenn er nüchtern ist?
(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit benötigt der Nachtwächter mindestens 8 erfolglose Versuche,
um eine Tür aufzuschließen, wenn er betrunken ist? |
Tag Leute,
also ich weiß nicht hundertprozentig, ob das so stimmt wie ich mirs gedacht, vielleicht könnt mir ja jemand sagen obs passt bzw. was zu verbessern wäre?!
zu (a)
Sei A:=Der Nachtwächter benötigt mindestens
8 erfolglose Versuche, um eine Tür aufzuschließen, wenn er nüchtern ist.
[mm] A_1:=Der [/mm] Nachtwächter schließt eine Tür beim neunten Versuch auf.
[mm] A_2:=Der [/mm] Nachtwächter schließt eine Tür beim zehnten Versuch auf.
[mm] P[A]=P[A_1\cup{A_2}]=P[A_1]+P[A_2]=\bruch{9}{10}\cdot{}\bruch{8}{9}\cdot{}\bruch{7}{8}\cdot{}\bruch{6}{7}\cdot{}\bruch{5}{6}\cdot{}\bruch{4}{5}\cdot{}\bruch{3}{4}\cdot{}\bruch{2}{3}\cdot{}\bruch{1}{2}+\bruch{9}{10}\cdot{}\bruch{8}{9}\cdot{}\bruch{7}{8}\cdot{}\bruch{6}{7}\cdot{}\bruch{5}{6}\cdot{}\bruch{4}{5}\cdot{}\bruch{3}{4}\cdot{}\bruch{2}{3}\cdot{}\bruch{1}{2}\cdot{}1=0,2
[/mm]
Vorausgesetzt das stimmt, müsst das doch auch irgendwie einfacher bzw. schneller zu berechnen sein oder??
zu (b):
Sei B:=Der Nachtwächter benötigt mindestens
8 erfolglose Versuche, um eine Tür aufzuschließen, wenn er betrunken ist.
P[B]=??
Hier bin ich noch etwas ratlos, aber kann man das nicht irgendwie mit der geometrischen Verteilung lösen?
Herzlichen Dank schon mal.
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Hallo,
also die B sieht schon ziemlich nach geometrischer Verteilung aus, oder nicht?!
Als Tip würde ich das Gegenereignis betrachten. Wenn du fragst, ob mindestens 8 Versuche nötig waren, dann hat eben einer, zwei,... bis 7 nicht gereicht.
Zur A: Also ich würde bei der Frage, ob mindestens 8 Versuche nötig sind ja auch den 8. Versuch mitzählen, also wenn ich das so aufschreibe wie du [mm] A_1, A_2 [/mm] und [mm] A_3 [/mm] (Der Wächter braucht 8 Versuche).
Du musst aber dann noch beachten, dass wenn du die W'keit dafür suchst, dass genau im 8. Versuch getroffen wurde, nicht die W'keit für den 9. Versuch vergisst...
Ansonsten sieht es nicht so schlecht aus!
lg Kai
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:36 Mi 30.06.2010 | | Autor: | kegel53 |
> Zur A: Also ich würde bei der Frage, ob mindestens 8
> Versuche nötig sind ja auch den 8. Versuch mitzählen,
> also wenn ich das so aufschreibe wie du [mm]A_1, A_2[/mm] und [mm]A_3[/mm]
> (Der Wächter braucht 8 Versuche).
>
> Du musst aber dann noch beachten, dass wenn du die W'keit
> dafür suchst, dass genau im 8. Versuch getroffen wurde,
> nicht die W'keit für den 9. Versuch vergisst...
Ich glaube du hast die Aufgabe nicht so ganz verstanden bzw. nicht richtig durchgelesen. Es geht hierbei um ERFOLGLOSE Versuche!!
Ich hab den Fall, dass der Wächter genau 8 ERFOLGLOSE Versuche braucht bereits beachtet, denn 8 erfolglose Versuche heißt ja nichts anderes als, dass der Wächter beim neunten Versuch aufschließt.
Es ging mir aber bei Teilaufgabe (a) vielmehr um einen alternativen Lösungsansatz, denn meiner mag richtig sein,
aber ist doch sehr unschön und umständlich! Also kann man das irgendwie einfacher bzw. schneller lösen??
Und bei (b) ist halt die Frage wie genau ich das mittels geometrischer Verteilung berechne, da macht mir dieses "mindestens" zu schaffen.
Es ist doch dann [mm] P[B]=1-P[B^c]=1-\sum_{k=0}^{7} \left(\bruch{9}{10}\right)^k\cdot{}\bruch{1}{10} [/mm] oder??
Wär klasse, wenn jemand helfen könnte! Vielen Dank schon mal.
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Ah sorry.. da hab ich mich verlesen... hatte er vor kurzen eine sehr ähnliche Aufgabe gesehen und hab gedacht es wäre die gleiche...
Zur (a)
Ich denke nicht dass es da einen sehr viel schöneren Weg gibt. Es geht um die Anwendung bedingter Wahrscheinlichkeiten. Man könnte sich vllt noch überlegen dass die W'keit für 9 Versuche gleich der für 10 ist, aber das ändert ja nicht viel.
Zur (b)
Ich denke deine Summe ist richtig! Wenn er nicht mindestens 8 erfolglose Versuche braucht, dann sind es maximal 7 Erfolglose. Das heißt für mich er trifft spätestens im 8 Anlauf, und das entspricht k=7.
lg Kai
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:57 Mi 30.06.2010 | | Autor: | kegel53 |
Okay dank dir!
Ich bin nur nicht ganz sicher was du bei (a) mit der Anwendung bedingter W'keiten meinst?!
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Na ganz formal:
[mm] $P(A\cap [/mm] B) = P(A)*P(B|A)$
Wenn du jetzt [mm] A_1 [/mm] = {Niete im ersten Versuch}... nennst, dann suchst du
[mm] $P(A_1 \cap [/mm] ... [mm] \cap A_8 \cap \{Treffer~ im ~9.~ oder~ 10. \} [/mm] ) = [mm] P(A_1)*P(A_2|A_1)*P(A_3|(A_1 \cap A_2))...$
[/mm]
lg Kai
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:13 Mi 30.06.2010 | | Autor: | kegel53 |
Achso war das gemeint. Alles klar, danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:17 Mi 07.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
Gibt es eigentlich einen schnelleren Weg [mm] P[B]=1-P[B^c]=1-\sum_{k=0}^{7} \left(\bruch{9}{10}\right)^k\cdot{}\bruch{1}{10} [/mm] auszurechnen oder muss ich wirklich die Summe mühsam Schritt für Schritt berechnen??
Danke schon mal für die Antwort.
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Hallo,
> Gibt es eigentlich einen schnelleren Weg
> [mm]P[B]=1-P[B^c]=1-\sum_{k=0}^{7} \left(\bruch{9}{10}\right)^k\cdot{}\bruch{1}{10}[/mm]
> auszurechnen oder muss ich wirklich die Summe mühsam
> Schritt für Schritt berechnen??
>
Den gibt es in der Tat, allgemein gilt nämlich: Für alle q [mm] \not= [/mm] 1 gilt:
[mm] \summe_{k=0}^{n} q^k [/mm] = [mm] \bruch{q^{n+1}-1}{q-1}^ [/mm] was man mit vollständiger Induktion zeigen kann.
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:39 Mi 07.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
Au man natürlich  . Danke dir!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 Di 06.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | In dieser Teilaufgabe nehmen wir an, dass der Nachtwächter mit
Wahrscheinlichkeit [mm] \bruch{2}{3} [/mm] nüchtern und mit Wahrscheinlichkeit [mm] \bruch{1}{3} [/mm] betrunken ist.
Nun hat die Chefin des Nachtwächters soeben beobachtet, dass der Nachtwächter achtmal erfolglos versucht hat, eine bestimmte Tür zu öffnen. Bevor der Nachtwächter einen neunten Versuch unternehmen kann, wirft sie ihm vor, er sei betrunken.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit (die auf ihre Beobachtung bedingt ist) hat sie Recht? |
Hallo Leute,
also ich hab mir das so überlegt.
Sei im Folgenden [mm] N:=\text{Nachtwächter} [/mm] und [mm] e.V.:=\text{erfolglose Versuche}.
[/mm]
Dann gilt:
[mm] P[N\text{ betrunken}|8\text{ e.V.}]=\bruch{P[8\text{ e.V.}|N\text{ betrunken}]\cdot{}P[N\text{betrunken}]}{P[8\text{ e.V.}|N\text{ betrunken}]+P[8\text{ e.V.}|N\text{ nüchtern}]}=?
[/mm]
Die Frage ist jetzt, ob ich für die W'keiten [mm] P[8\text{ e.V.}|N\text{ betrunken}] [/mm] bzw. [mm] P[8\text{ e.V.}|N\text{ nüchtern}] [/mm] gerade die W'keiten aus den Aufgabenteilen (a) und (b) verwenden kann oder diese doch gesondert berechnen muss?!
Oder anders gefragt, muss ich hierbei die W'keit verwenden, dass der Nachtwächter GENAU 8-mal erfolglos versucht hat eine Tür aufzuschließen oder doch eher die W'keit, dass der Nachtwächter MINDESTENS 8-mal versucht hat eine Tür aufzuschließen?!
Wär klasse, wenn das jemand aufklären könnte. Besten Dank schon mal.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:00 Di 06.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
Wär echt klasse, wenn das kurz jemand bestätigen könnte.
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Hallo
> In dieser Teilaufgabe nehmen wir an, dass der Nachtwächter
> mit
> Wahrscheinlichkeit [mm]\bruch{2}{3}[/mm] nüchtern und mit
> Wahrscheinlichkeit [mm]\bruch{1}{3}[/mm] betrunken ist.
> Nun hat die Chefin des Nachtwächters soeben beobachtet,
> dass der Nachtwächter achtmal erfolglos versucht hat, eine
> bestimmte Tür zu öffnen. Bevor der Nachtwächter einen
> neunten Versuch unternehmen kann, wirft sie ihm vor, er sei
> betrunken.
>
> Mit welcher Wahrscheinlichkeit (die auf ihre Beobachtung
> bedingt ist) hat sie Recht?
> Hallo Leute,
> also ich hab mir das so überlegt.
> Sei im Folgenden [mm]N:=\text{Nachtwächter}[/mm] und
> [mm]e.V.:=\text{erfolglose Versuche}.[/mm]
> Dann gilt:
>
> [mm]P[N\text{ betrunken}|8\text{ e.V.}]=\bruch{P[8\text{ e.V.}|N\text{ betrunken}]\cdot{}P[N\text{betrunken}]}{P[8\text{ e.V.}|N\text{ betrunken}]+P[8\text{ e.V.}|N\text{ nüchtern}]}=?[/mm]
>
> Die Frage ist jetzt, ob ich für die W'keiten [mm]P[8\text{ e.V.}|N\text{ betrunken}][/mm]
> bzw. [mm]P[8\text{ e.V.}|N\text{ nüchtern}][/mm] gerade die
> W'keiten aus den Aufgabenteilen (a) und (b) verwenden kann
> oder diese doch gesondert berechnen muss?!
>
> Oder anders gefragt, muss ich hierbei die W'keit verwenden,
> dass der Nachtwächter GENAU 8-mal erfolglos versucht hat
> eine Tür aufzuschließen oder doch eher die W'keit, dass
> der Nachtwächter MINDESTENS 8-mal versucht hat eine Tür
> aufzuschließen?!
In der Aufgabenstellung steht ja, dass die Chefin GENAU 8 Versuche beobachtet hat und noch VOR dem neunten Versuch ihm vorwirft, betrunken zu sein. Das deutet eindeutig auf Verwendung der Wk für GENAU 8 erfolglose Versuche hin. Ansonsten sieht der Ansatz wirklich gut aus.
Viele Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:18 Mi 07.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
Alles klar dank dir vielmals.
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