W'keit von Klassenerhalt < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:47 Fr 28.12.2012 | | Autor: | Marschal |
| Aufgabe | Servus!
Ein Fußball-Bundesligist benötigt 6 Punkten in den letzten 4 Spielen für den Klassenerhalt. Laut Statistik gewinnt der Verein mit W'keit 0,3 ein Spiel, spielt mit W'keit 0,25 unentschieden und verliert mit W'keit 0,45.
Wie wahrscheinlich ist es, dass der Verein noch genau 6 Punkte holt unter der Annahme, dass die Ausgänge der Spiele unabhängig voneinander sind? |
Angefangen habe ich so: $ [mm] \Omega =\big\{\omega = (\omega_1,\omega_2,\omega_3,\omega_4)\ |\ \omega_i\in \{0,1,3\},\ \omega_1\geq\omega_2\geq\omega_3\geq\omega_4 \big\} [/mm] $
oder ist der Grundraum so: $ [mm] \Omega =\big\{\omega = (\omega_1,\omega_2,\omega_3,\omega_4)\ |\ \omega_i\in \{0,1,3\} \big\} [/mm] $ ? Eher die 1. Variante oder? Weil es nicht darauf ankommt in welcher Reihenfolge die bestimmten Spielausgänge stattfinden?
Dann fuhr ich so fort: [mm] $X:\omega \mapsto \summe_{i=1}^{4}\omega_i=6$, [/mm] also $P(X=6)$
Das klappt für die Menge $ [mm] \big\{(3,1,1,1), (3,3,0,0) \big\} [/mm] $, (falls die 1. Variante meines Grundraums stimmt.)
Aber mit welcher Verteilung oder was auch immer berechne ich jetzt $P(X=6)$?
Könnt ihr mir helfen?
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Hallo,
> Servus!
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> Ein Fußball-Bundesligist benötigt 6 Punkten in den
> letzten 4 Spielen für den Klassenerhalt. Laut Statistik
> gewinnt der Verein mit W'keit 0,3 ein Spiel, spielt mit
> W'keit 0,25 unentschieden und verliert mit W'keit 0,45.
>
> Wie wahrscheinlich ist es, dass der Verein noch genau 6
> Punkte holt unter der Annahme, dass die Ausgänge der
> Spiele unabhängig voneinander sind?
> Angefangen habe ich so: [mm]\Omega =\big\{\omega = (\omega_1,\omega_2,\omega_3,\omega_4)\ |\ \omega_i\in \{0,1,3\},\ \omega_1\geq\omega_2\geq\omega_3\geq\omega_4 \big\}[/mm]
>
> oder ist der Grundraum so: [mm]\Omega =\big\{\omega = (\omega_1,\omega_2,\omega_3,\omega_4)\ |\ \omega_i\in \{0,1,3\} \big\}[/mm]
> ? Eher die 1. Variante oder? Weil es nicht darauf ankommt
> in welcher Reihenfolge die bestimmten Spielausgänge
> stattfinden?
Man kann meiner Meinung nach beides verwenden. Ich halte die zweite Variante aber für wesentlich günstiger.
>
> Dann fuhr ich so fort: [mm]X:\omega \mapsto \summe_{i=1}^{4}\omega_i=6[/mm],
> also [mm]P(X=6)[/mm]
>
> Das klappt für die Menge [mm]\big\{(3,1,1,1), (3,3,0,0) \big\} [/mm],
> (falls die 1. Variante meines Grundraums stimmt.)
>
Und wenn du doch die 2. Variante für den Wahrscheinlichkeitsraum verwendest: dann jeweils noch für alle möglichen Permutionen der Quadrupel. Und die sind ja nicht wirklich schwer zu zählen.
>
> Aber mit welcher Verteilung oder was auch immer berechne
> ich jetzt [mm]P(X=6)[/mm]?
> Könnt ihr mir helfen?
Wenn du einen Namen möchtest: ich glaube, das nennt man Multinomialverteilung. Aber das bringt dir hier zum Berechnen nicht wirklich etwas. Man rechnet einfach die Wahrscheinlichkeit bspw. für [mm] \{3;1;1;1\} [/mm] aus und multipliziert mit den hier 4 Permutationen, die es insgeamt gibt. Für zwei Siege das gleiche, wobei die Anzahl der möglichen Permutationen dann anders lautet.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:01 Fr 28.12.2012 | | Autor: | Marschal |
Danke für die extrem schnelle Antwort Diophant,
ich glaube genau da liegt mein Problem: Wie berechne ich die W'keit von bspw. $ [mm] \{(3,1,1,1)\} [/mm] $?
Einfach $ [mm] P(\{3\})+3\cdot P(\{1\}) [/mm] $? Wenn ja warum? Schubs mich mal bitte von dem Schlauch runter, auf dem ich offensichtlich gerade stehe...
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Hallo,
> Danke für die extrem schnelle Antwort Diophant,
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> ich glaube genau da liegt mein Problem: Wie berechne ich
> die W'keit von bspw. [mm]\{(3,1,1,1)\} [/mm]?
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> Einfach [mm]P(\{3\})+3\cdot P(\{1\}) [/mm]? Wenn ja warum? Schubs
> mich mal bitte von dem Schlauch runter, auf dem ich
> offensichtlich gerade stehe...
nein: die Spielausgänge sind ja unabhängig voneinander (daher auch die alte Fußballerweisheit: das nächste Spiel ist das wichtigste  ). Also ist natürlich
[mm] P(\{3;1;1;1\})=0.3*0.25^3
[/mm]
die Wahrscheinlichkeit dafür, das nächste Spiel zu gewinnen und die restlichen unentschieden zu spielen.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:19 Fr 28.12.2012 | | Autor: | Marschal |
Okay danke 
Dann schreibe ich es mal auf:
$ [mm] P\big(\{(3,1,1,1),(1,3,1,1),(1,1,3,1),(1,1,1,3),(3,3,0,0),(3,0,3,0),(3,0,0,3),(0,3,3,0),(0,3,0,3),(0,0,3,3), \}\big)=(0.3\cdot{}0.25^3)^4+(0.3^2\cdot 0.45^2)^6 [/mm] $ wegen Sigma-Additivität.
Stimmt das so?
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Hallo,
> Okay danke
>
> Dann schreibe ich es mal auf:
>
> [mm]P\big(\{(3,1,1,1),(1,3,1,1),(1,1,3,1),(1,1,1,3),(3,3,0,0),(3,0,3,0),(3,0,0,3),(0,3,3,0),(0,3,0,3),(0,0,3,3), \}\big)=(0.3\cdot{}0.25^3)^4+(0.3^2\cdot 0.45^2)^6[/mm]
> wegen Sigma-Additivität.
>
> Stimmt das so?
nein, es ist
[mm] P=4*0.3*0.25^3+6*0.3^2*0.45^2
[/mm]
Aber ich denke mal, du hattest es auch so gemeint.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:28 Fr 28.12.2012 | | Autor: | Marschal |
Äh ja genau.
Tausend Danke für deine Hilfe!
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