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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:44 So 01.04.2007 | | Autor: | Vannie |
| Aufgabe | Das Schaubild beschreibt die vertikale Geschwindigkeit v eines Tauchers, der bis zum Grund eines Sees taucht. (Der Tauchvorang beginnt zum Zeitpunkt t=0 an der Wasseroberfläche; der Abwärtsbewegung entspricht eine negative Geschwindigkeit v; t in Minuten, v in Meter pro Minute)
a) Nach wieviel Minuten hat der Taucher den Grund des Sees erreicht? Wie lange verweilt er dort?
b) Schätzen Sie anhand des Schaubildes die Tiefe des Sees an dieser Stelle ab. Wieviel Meter ist der Taucher nach 14 min von der Oberfläche entfernt.
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Hallo,
mache grade fleißig die Übungsaufgaben für den Pflichtteil durch und bin mal wieder über etwas gestolpert, was ich nicht so ganz verstehe.
Die Aufgabe ist ja oben zu lesen...
Nun kann ich das Schaubild ja leider nicht zeigen, aber ich versuche mal, es zu erklären...
Ich teile es ein in drei Teile. Der erste entspricht etwa einer nach oben geöffneten Parabel im 2. Quadranten. Dann schneidet das Schaubild die x-Achse bei t = 8 und "liegt" bis t = 11 "auf der x-Achse". Danach geht es wie eine "halbe", nach unten geöffnete Parabel weiter im 1. Quadranten.
Aufgabe a) habe ich wie folgt erklärt:
Das Schaubild beschreibt die Änderungsrate, d.h v(t) = V'(t) mit V(t) als Stammfunktion. Das heißt, V(t) gibt in meinen Augen die Tiefe des Sees an. Stimmt diese Überlegung?
Weiter habe ich dann folgendes:
Man soll ja bestimmen, wann der Taucher die Tiefe des Sees erreicht hat. Gesucht ist also das Minimum der Stammfunktion, folglich also die Nullstelle von v(t). Denn Bedingung für Maximum ist ja V'(t) = v(t) = 0.
Das Schaubild liefert dann v(8) = 0, was heißt, nach 8 Minuten hat der Taucher den Grund des Sees erreicht.
Ich habe dann hinten die Lösung angeschaut, und mein Wert t = 8 stimmt. Allerdings ist die Begründung eine andere.
Das Buch hat es wie folgt begründet: Bei t = 8 ist v(8) = 0, d.h. die Geschwindigkeit 0. Dies bedeutet, er ist auf dem Grund des Sees angekommen. Ich finde diese Begründung auch einleuchtend, möchte aber trotzdem gerne wissen, ob meine Begründung auch gültig wäre?
Wie lange er auf dem Grund verweilt, ist auch klar. Das Schaubild verläuft ja von t = 8 bis t = 11 auf der x-Achse, also hat er 3 Minuten dort verweilt.
Die Aufgabe b) verstehe ich aber gar nicht. Das Buch berechnet sie wie folgt:
Tiefe S = [mm] |\integral_{0}^{8}{v(x) dx}|
[/mm]
Laut meiner Begründung bei a) bestimmt ja die Stammfunktion die Tiefe des Sees und v(t) entspricht der Änderungsrate (der momentanen Geschwindigkeit?). Wieso nehmen die dann die Änderungsrate als Funktion, um die Tiefe des Sees zu bestimmen? Habe ich da einen ganz falschen Ansatz mit meiner Begründung bei a)? Ich verstehe überhaupt nicht, wieso man mit der Änderungsrate die Tiefe des Sees bestimmen kann ...
Wäre sehr nett, wenn mir das einer erklären könnte. Vielen Dank schon einmal und einen schönen Sonntag!
Gruß Vannie :)
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Hallo!
Eine nette Aufgabe hast du da.
Erstmal: Meinst du sicher den 2. Quadranten? Ich denke, du meinst den 4. Man zählt nämlich gegen den Uhrzeigersinn, und dann ist der 2. links oben.
Mit der a) liegst du richtig.
Die Geschwindigkeit ist die Ableitung der Strecke:
v(t)=s'(t) (schreiben wir das lieber so...)
Zu der Sache mit der Tefe des Sees: Deine Begründung ist identisch mit der des Buches. Du sagst, streng mathematisch, daß da ein Minimum in s(t), und damit eine Nullstelle in v(t) vorliegen muß. Genau das sagt das Buch auch, allerdings ist die Formulierung dort eher praktischer Natur: Wenn der Taucher nicht tiefer geht, dann wird er wohl die tiefste Stelle erreicht haben.
Zur b)
Hier stehst du anscheinend etwas auf dem Schlauch.
v ist die Wegänderung pro zeit. Multiplizierst du das ganze mit der Zeit, erhälst du den Weg. Das kennst du schon aus der Physik: s=vt.
Ist v aber nicht konstant, muß man eben die Zeit in kleine Stücke zerteilen, in denen v halbwegs konstant ist, die jeweils mit den kleinen "Zeitstücken" multiplizieren, und diese ganzen Produkte aufaddieren. Und genau das ist doch das Integral!
Oder anders: Du sagst selbst, daß gilt:
v(t)=s'(t)
mit anderen Worten, s ist die Stammfunktion von v. Daher kannst du das ganze integrieren, und erhälst:
[mm] $\integral_0^T v(t)dt=\integral_0^T [/mm] s'(t)dt$
[mm] $\integral_0^T v(t)dt=[s(t)]_0^T$
[/mm]
und da gesagt wird, daß s(0)=0 sein soll:
[mm] $\integral_0^T [/mm] v(t)dt=s(T)$
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:03 So 01.04.2007 | | Autor: | Vannie |
Hallo,
vielen Dank für deine Antwort. Ich meine natürlich den 4. Quadranten, weiß garnicht, wie ich da auf den 2. gekommen bin.
Nun ist mir das alles klar geworden, vielen Dank ;).
Gruß, Vannie
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