Wachstumsfunktion Hefekultur < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:06 Mo 06.05.2013 | | Autor: | limes13 |
| Aufgabe | Die Kurve in der Abbildung gibt das Wachstum einer Hefekultur wieder. Die zugehörige Funktionf ist vom Typ f(t) = $ [mm] \bruch{a}{1+be^{-ct}} [/mm] $ ; a,b,c $ [mm] \in\IR; [/mm] $ a,b,c > 0. Die Zeit t wird in Stunden gemessen, f(t) gibt die Zellenanzahl in Tausend pro Volumeneinheit an.
In einem Labor wurden beim Züchten einer Hefekultur folgende Messwerte aufgenommen.
t in h 0 10 15 30 40
Zellen pro Volumeneinheit 10 600 948 1000 1000
a) Bestimmen Sie die Parameter a und b, erläutern Sie, wie der Wert c = 0,5 zu berechnen ist, und beurteilen Sie die Annahme des Laborassistenten.
b) Skizzieren Sie den Graphen der Funktion f.
c) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, an dem die Wachstumsgeschwindigkeit maximal ist, und geben Sie deren Wert an. |
Hallo! Ich bin gerade in der Vorbereitung für das mündliche Abitur und komme bei dieser Aufgabe nicht weiter.
Zuerst dachte ich, dass es sich hier wohl um eine logistische Funktion handelt (Bei f(15) bis f(40) geht f auf den Grenzwert f(30)=f(40)=1000 zu. Jedoch weiß ich nicht, wie ich das jetzt in die Funktion einsetze bzw. damit weiterrechne.
b) ist wohl kein Problem
bei d) ist dann wohl die Wendestelle zu berechnen, aber dafür bräuchte ich zunächst die Werte von a und b...
Vielen Dank im Voraus für jegliche Hilfe!
lg
limes13
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo limes13,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Die Kurve in der Abbildung gibt das Wachstum einer
> Hefekultur wieder. Die zugehörige Funktionf ist vom Typ
> f(t) = [mm]\bruch{a}{1+be^{-ct}}[/mm] ; a,b,c [mm]\in\IR;[/mm] a,b,c > 0. Die
> Zeit t wird in Stunden gemessen, f(t) gibt die Zellenanzahl
> in Tausend pro Volumeneinheit an.
>
> In einem Labor wurden beim Züchten einer Hefekultur
> folgende Messwerte aufgenommen.
>
> t in h 0 10 15 30 40
>
> Zellen pro Volumeneinheit 10 600 948 1000 1000
>
> a) Bestimmen Sie die Parameter a und b, erläutern Sie, wie
> der Wert c = 0,5 zu berechnen ist, und beurteilen Sie die
> Annahme des Laborassistenten.
>
> b) Skizzieren Sie den Graphen der Funktion f.
> c) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, an dem die
> Wachstumsgeschwindigkeit maximal ist, und geben Sie deren
> Wert an.
> Hallo! Ich bin gerade in der Vorbereitung für das
> mündliche Abitur und komme bei dieser Aufgabe nicht
> weiter.
>
> Zuerst dachte ich, dass es sich hier wohl um eine
> logistische Funktion handelt (Bei f(15) bis f(40) geht f
> auf den Grenzwert f(30)=f(40)=1000 zu. Jedoch weiß ich
> nicht, wie ich das jetzt in die Funktion einsetze bzw.
> damit weiterrechne.
>
Betrachte hier Gleichungen der Form
[mm]f\left(t_{i}\right)=f_{i}, \ i=1,2,3[/mm]
Daraus lassen sich die Parameter a,b,c bestimmen.
> b) ist wohl kein Problem
>
> bei d) ist dann wohl die Wendestelle zu berechnen, aber
> dafür bräuchte ich zunächst die Werte von a und b...
>
Den Wert kannst Du auch formal bestimmen.
> Vielen Dank im Voraus für jegliche Hilfe!
>
> lg
>
> limes13
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:02 Mo 06.05.2013 | | Autor: | limes13 |
Ich habe denke ich die Lösung schon selbst ergründet. Ist doch ganz einfach.
Durch den Grenzwert von 1000 weiß ich, dass a=1000 ist.
Damit kann ich dann b berechnen über f(0)=10:
f(0)=10= 1000/(1+b) => b= 99
Dann kann ich mir einen beliebigen Punkt heraussuchen (aus der Tabelle). Ich habe (15|948) genommen und dann über den GTR Befehl "Intersect" den Wert 0,5 erhalten.
zu c):
f(t) = [mm] \bruch{1000}{1+99*e^(-0,5*t)}
[/mm]
Ich komme hier nur bis zur 1. Ableitung, die zweite ist bei mir immer falsch..
f'(t) = [mm] \bruch{49500*e^(-0.5t)}{(1+99*e^(-0,5*t))^2}
[/mm]
Nach der Quotientenregel:
f''(t) = [mm] (-0,5*49500*e^{-0.5t}*(1+99e^{-0.5t})^2)-(49500*e^{-0.5t}-(-99*e^{-0.5t}-99e^{-0.5t^2})
[/mm]
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Hallo limes13,
> Ich habe denke ich die Lösung schon selbst ergründet. Ist
> doch ganz einfach.
>
> Durch den Grenzwert von 1000 weiß ich, dass a=1000 ist.
>
> Damit kann ich dann b berechnen über f(0)=10:
>
> f(0)=10= 1000/(1+b) => b= 99
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Dann kann ich mir einen beliebigen Punkt heraussuchen (aus
> der Tabelle). Ich habe (15|948) genommen und dann über den
> GTR Befehl "Intersect" den Wert 0,5 erhalten.
>
> zu c):
>
> f(t) = [mm]\bruch{1000}{1+99*e^(-0,5*t)}[/mm]
>
> Ich komme hier nur bis zur 1. Ableitung, die zweite ist bei
> mir immer falsch..
>
> f'(t) = [mm]\bruch{49500*e^(-0.5t)}{(1+99*e^(-0,5*t))^2}[/mm]
>
> Nach der Quotientenregel:
> f''(t) =
> [mm](-0,5*49500*e^{-0.5t}*(1+99e^{-0.5t})^2)-(49500*e^{-0.5t}-(-99*e^{-0.5t}-99e^{-0.5t^2})[/mm]
>
Poste dazu Deine Rechenschritte.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:28 Mo 06.05.2013 | | Autor: | limes13 |
Danke für die Antwort. Ich habe einfach die Ableitungsregeln angewendet, u.a. die Quotientenregel. Da gibt es kaum Rechenschritte.
Es kommt bei mir raus (nach Zusammenfassen von Termen (z.B. -0,5*49500 etc.):
f''(x) = [mm] \bruch{(-24750*e^(-0,5t)*(1+99*e^(-0,5t)^2)-(49500*e^(-0,5t)*(-99*e^(-0,5t)-t*99*e^(-0,5t^2))}{(1+99*e^(-0,5t)^4}
[/mm]
Im vorigen Beitrag habe ich aus versehen [mm] v^2 [/mm] vergessen (d/dx(u/v) = [mm] (u'v-uv')/v^2 [/mm] )
Das kann man dann in den GTR eintippen und die Nullstelle berechnen. Das ist jetzt ein Aufgabenbeispiel für die mündliche Prüfung und nur eine Teilaufgabe. Denkst Du, dass es hier notwendig ist, die zweite Ableitung zu berechnen? Oder reicht möglicherweise die 1. Ableitung, mit der man dann über den Taschenrechner das Maximum berechnen kann?
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Hallo limes13,
> Danke für die Antwort. Ich habe einfach die
> Ableitungsregeln angewendet, u.a. die Quotientenregel. Da
> gibt es kaum Rechenschritte.
>
> Es kommt bei mir raus (nach Zusammenfassen von Termen (z.B.
> -0,5*49500 etc.):
>
> f''(x) =
> [mm]\bruch{(-24750*e^(-0,5t)*(1+99*e^(-0,5t)^2)-(49500*e^(-0,5t)*(-99*e^(-0,5t)-t*99*e^(-0,5t^2))}{(1+99*e^(-0,5t)^4}[/mm]
>
So wie die da steht, kann es nicht identifiziert werden.
> Im vorigen Beitrag habe ich aus versehen [mm]v^2[/mm] vergessen
> (d/dx(u/v) = [mm](u'v-uv')/v^2[/mm] )
>
> Das kann man dann in den GTR eintippen und die Nullstelle
> berechnen. Das ist jetzt ein Aufgabenbeispiel für die
> mündliche Prüfung und nur eine Teilaufgabe. Denkst Du,
> dass es hier notwendig ist, die zweite Ableitung zu
> berechnen? Oder reicht möglicherweise die 1. Ableitung,
> mit der man dann über den Taschenrechner das Maximum
> berechnen kann?
>
In der mündlichen Prüfung wird für solch eine Berechnung wenig Zeit bleiben.
Gruss
MathePower
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