Wärmeleitung, Stab < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:59 Sa 19.04.2008 | | Autor: | moomann |
| Aufgabe | | Ein Stab der Länge l mit Kreisförmigem Querschnitt hat einen sich entlang seiner Achsen ändernden Durchmesser [mm] d=d_{0}(1+ax) [/mm] (a Konstante, x Abstand von einem Ende, [mm] d_{0} [/mm] Durchmesser an diesem Ende). Berechnen Sie den Wärmewiderstand des Stabes (Wärmeleitfähigkeit des Materials [mm] \lambda) [/mm] |
Hallo!
Ich würde mich über Hilfe zu obiger Aufgabe freuen, denn leider fehlen mir die richtigen Ansätze.
Ich muss ja zunächst die Wärmeleitfähigkeit [mm] \lambda [/mm] berechnen.
Wenn ich richtig liege, komme ich mit der Formel
[mm] \frac{dQ}{dt}=-\lambda*A*\frac{dT}{dx} [/mm]
nicht sehr weit, denn der Stab hat ja keine konstante Querschnittsfläche A. Unter genauen Betrachtungen erhält man ausgehend von der zeitlichen Änderung der Wärmemenge auch
[mm] \frac{dT}{dt}=\frac{\lambda}{\rho*c}\frac{d^2T}{dx^2}.
[/mm]
Doch was soll ich nun tun, um [mm] \lambda [/mm] zu berechnen? Es bringt mir wohl kaum etwas, wenn ich diese Gleichung einfach nach [mm] \lambda [/mm] umstelle, oder? Es handelt sich ja um eine Diffusionsgleichung. Soll man die lösen (das kann ich nicht ...)?
Das nächste Problem ergibt sich dann bei der Berechnung des Wärmewiderstandes R. Es gilt
[mm] R=\frac{l}{\lambda*A}.
[/mm]
Aber auch hier geht man doch sicher von einer konstanten Fläche A aus (?!), welche in unserem Fall nicht gegeben ist. Was muss ich denn nun tun?
|
|
| |
|
In solchen Fällen solltest du es generell mit Integration probieren! (Also wenn sich eine Größe irgendwie ändert.)
Das ist mir zumindest immer so gegangen...
Tut mir Leid, dass ich grad keine Zeit hab das genauer zu betrachten.
MfG Sunny
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:56 So 20.04.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ein Stab der Länge l mit Kreisförmigem Querschnitt hat
> einen sich entlang seiner Achsen ändernden Durchmesser
> [mm]d=d_{0}(1+ax)[/mm] (a Konstante, x Abstand von einem Ende, [mm]d_{0}[/mm]
> Durchmesser an diesem Ende). Berechnen Sie den
> Wärmewiderstand des Stabes (Wärmeleitfähigkeit des
> Materials [mm]\lambda)[/mm]
> Hallo!
>
> Ich würde mich über Hilfe zu obiger Aufgabe freuen, denn
> leider fehlen mir die richtigen Ansätze.
>
> Ich muss ja zunächst die Wärmeleitfähigkeit [mm]\lambda[/mm]
> berechnen.
Nein. Du sollst den Wärmewiderstand bei gegebener Wärmeleitfähigkeit [mm]\lambda[/mm] ausrechnen.
> Wenn ich richtig liege, komme ich mit der Formel
> [mm]\frac{dQ}{dt}=-\lambda*A*\frac{dT}{dx}[/mm]
> nicht sehr weit, denn der Stab hat ja keine konstante
> Querschnittsfläche A.
Richtig. Du musst also die Querschnittsfläche als Funktion von x ansetzen und die Gleichung integrieren.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 So 20.04.2008 | | Autor: | moomann |
Danke erst mal. Mir war nicht klar, dass ich [mm] \lambda [/mm] nicht auch noch irgendwie berechnen muss.
Ist es folgendermaßen richtig?
Für jedes Längenstück dx gilt für den Wärmewiderstand
[mm] R=\frac{dx}{\lambda*A(x)}, [/mm] sodass ich auf die Länge l das Integral
[mm] \integral_{0}^{l}{\frac{1}{\lambda*A(x)} dx}=\integral_{0}^{l}{\frac{1}{\lambda*\pi*\frac{1}{4}*d_{0}^2*(1+ax)^2} dx}=\frac{4}{\lambda*\pi*d_{0}^2}*\integral_{0}^{l}{(1+ax)^{-2} dx} [/mm] erhalte.
Das ergibt dann weiter
[mm] R=\frac{4}{\lambda*\pi*d_{0}^2} \left[\frac{-1}{a+a^2x} \right]^{l}_{0}=\frac{4l}{\lambda\pi d_{0}^2(al+1)}.
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:09 So 20.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Alles richtig
Gruss leduart
|
|
|
|
