Wärmeleitungsgleichung < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:41 Sa 24.04.2010 | | Autor: | grenife |
| Aufgabe | Betrachten Sie die Wärmeleitungsgleichung
[mm] $\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$.
[/mm]
Zeigen Sie: Gilt [mm] $u(x,t)=t^{\alpha}\Phi(\xi)$ [/mm] mit [mm] $\xi=x/\sqrt{t}$ [/mm] und [mm] $\alpha$ [/mm] konstant, dann erfüllt [mm] $\Phi(\xi)$ [/mm] die gewöhnliche Differentialgleichung:
[mm] $\alpha\Phi-\frac{1}{2}\xi\Phi^{'}=\Phi^{''}$. [/mm] |
Hallo zusammen,
habe bei dieser Aufgabe keine rechte Idee, wie ich sie lösen soll. Ich kenne mich eigentlich überhaupt nicht mit PDGLs aus und habe im Internet ähnliche Probleme unter dem Stichwort Symmetrieansatz gefunden. Meine Frage ist nun, brauche ich für die Lösung der Aufgabe vertiefte Kenntnisse in der Lösung von PDGls oder reicht es nicht einfach, die Bedingung [mm] $u(x,t)=t^{\alpha}\Phi(\xi)$ [/mm] in die DGL einzusetzen und dann umzuformen?
Vielen Dank für Eure Kommentare und viele Grüße
Gregor
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Hallo grenife,
> Betrachten Sie die Wärmeleitungsgleichung
> [mm]\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}[/mm].
>
> Zeigen Sie: Gilt [mm]u(x,t)=t^{\alpha}\Phi(\xi)[/mm] mit
> [mm]\xi=x/\sqrt{t}[/mm] und [mm]\alpha[/mm] konstant, dann erfüllt [mm]\Phi(\xi)[/mm]
> die gewöhnliche Differentialgleichung:
> [mm]\alpha\Phi-\frac{1}{2}\xi\Phi^{'}=\Phi^{''}[/mm].
> Hallo zusammen,
>
> habe bei dieser Aufgabe keine rechte Idee, wie ich sie
> lösen soll. Ich kenne mich eigentlich überhaupt nicht mit
> PDGLs aus und habe im Internet ähnliche Probleme unter dem
> Stichwort Symmetrieansatz gefunden. Meine Frage ist nun,
> brauche ich für die Lösung der Aufgabe vertiefte
> Kenntnisse in der Lösung von PDGls oder reicht es nicht
> einfach, die Bedingung [mm]u(x,t)=t^{\alpha}\Phi(\xi)[/mm] in die
> DGL einzusetzen und dann umzuformen?
Ja. das ist richtig.
Dann lautet die Gleichung, die Du umzuformen hast:
[mm]\frac{\partial} {\partial t}\left( \ t^{\alpha}*\Phi\left( \ \xi\left(x,t\right) \ \right)\ \right)=\frac{\partial^2 }{\partial x^2}\left( \ t^{\alpha}*\Phi\left (\ \xi\left(x,t\right) \ \right)\ \right)[/mm].
>
> Vielen Dank für Eure Kommentare und viele Grüße
> Gregor
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:17 Di 08.06.2010 | | Autor: | grenife |
> Hallo grenife,
> Ja. das ist richtig.
>
> Dann lautet die Gleichung, die Du umzuformen hast:
>
> [mm]\frac{\partial} {\partial t}\left( \ t^{\alpha}*\Phi\left( \ \xi\left(x,t\right) \ \right)\ \right)=\frac{\partial^2 }{\partial x^2}\left( \ t^{\alpha}*\Phi\left (\ \xi\left(x,t\right) \ \right)\ \right)[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
.
>
Hallo Mathepower,
vielen Dank für den Hinweis!
Ich habe doch dann
$\frac{\partial} {\partial t}\left( \ t^{\alpha}*\Phi\left( \ \xi\left(x,t\right) \ \right)\ \right)=\frac{\partial^2 }{\partial x^2}\left( \ t^{\alpha}*\Phi\left (\ \xi\left(x,t\right) \ \right)\ \right)$
$\Leftrightarrow t^{\alpha}\cdot\frac{\partial} {\partial t}\Phi\left(\xi(x,t)\right)+\alpha t^{\alpha-1}\cdot\Phi\left(\xi(x,t)\right)=t^{\alpha}\frac{\partial^2 }{\partial x^2}\Phi\left(\xi(x,t)\right)$
$\Leftrightarrow \frac{\partial} {\partial t}\Phi\left(\xi(x,t)\right)+\frac{\alpha}{t}\cdot\Phi\left(\xi(x,t)\right)=\frac{\partial^2 }{\partial x^2}\Phi\left(\xi(x,t)\right)$
Sehe jetzt nicht wirklich, wie ich da weitermachen soll, vielleicht hat ja jemand einen Tipp.
Vielen Dank und viele Grüße
Gregor
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Hallo grenife,
> > Hallo grenife,
> > Ja. das ist richtig.
> >
> > Dann lautet die Gleichung, die Du umzuformen hast:
> >
> > [mm]\frac{\partial} {\partial t}\left( \ t^{\alpha}*\Phi\left( \ \xi\left(x,t\right) \ \right)\ \right)=\frac{\partial^2 }{\partial x^2}\left( \ t^{\alpha}*\Phi\left (\ \xi\left(x,t\right) \ \right)\ \right)[/mm].
>
> >
> Hallo Mathepower,
>
> vielen Dank für den Hinweis!
>
> Ich habe doch dann
> [mm]\frac{\partial} {\partial t}\left( \ t^{\alpha}*\Phi\left( \ \xi\left(x,t\right) \ \right)\ \right)=\frac{\partial^2 }{\partial x^2}\left( \ t^{\alpha}*\Phi\left (\ \xi\left(x,t\right) \ \right)\ \right)[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow t^{\alpha}\cdot\frac{\partial} {\partial t}\Phi\left(\xi(x,t)\right)+\alpha t^{\alpha-1}\cdot\Phi\left(\xi(x,t)\right)=t^{\alpha}\frac{\partial^2 }{\partial x^2}\Phi\left(\xi(x,t)\right)[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow \frac{\partial} {\partial t}\Phi\left(\xi(x,t)\right)+\frac{\alpha}{t}\cdot\Phi\left(\xi(x,t)\right)=\frac{\partial^2 }{\partial x^2}\Phi\left(\xi(x,t)\right)[/mm]
>
> Sehe jetzt nicht wirklich, wie ich da weitermachen soll,
> vielleicht hat ja jemand einen Tipp.
Jetzt musst Du die partiellen Ableitungen
[mm]\frac{\partial} {\partial t}\Phi\left(\xi(x,t)\right), \ \frac{\partial^2 }{\partial x^2}\Phi\left(\xi(x,t)\right)[/mm]
mit Hilfe der Kettenregel berechnen.
>
> Vielen Dank und viele Grüße
> Gregor
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:54 Do 10.06.2010 | | Autor: | grenife |
> Hallo grenife,
>
> > > Hallo grenife,
> > > Ja. das ist richtig.
> > >
> > > Dann lautet die Gleichung, die Du umzuformen hast:
> > >
> > > [mm]\frac{\partial} {\partial t}\left( \ t^{\alpha}*\Phi\left( \ \xi\left(x,t\right) \ \right)\ \right)=\frac{\partial^2 }{\partial x^2}\left( \ t^{\alpha}*\Phi\left (\ \xi\left(x,t\right) \ \right)\ \right)[/mm].
>
> >
> > >
> > Hallo Mathepower,
> >
> > vielen Dank für den Hinweis!
> >
> > Ich habe doch dann
> > [mm]\frac{\partial} {\partial t}\left( \ t^{\alpha}*\Phi\left( \ \xi\left(x,t\right) \ \right)\ \right)=\frac{\partial^2 }{\partial x^2}\left( \ t^{\alpha}*\Phi\left (\ \xi\left(x,t\right) \ \right)\ \right)[/mm]
>
> >
> > [mm]\Leftrightarrow t^{\alpha}\cdot\frac{\partial} {\partial t}\Phi\left(\xi(x,t)\right)+\alpha t^{\alpha-1}\cdot\Phi\left(\xi(x,t)\right)=t^{\alpha}\frac{\partial^2 }{\partial x^2}\Phi\left(\xi(x,t)\right)[/mm]
>
> >
> > [mm]\Leftrightarrow \frac{\partial} {\partial t}\Phi\left(\xi(x,t)\right)+\frac{\alpha}{t}\cdot\Phi\left(\xi(x,t)\right)=\frac{\partial^2 }{\partial x^2}\Phi\left(\xi(x,t)\right)[/mm]
>
> >
> > Sehe jetzt nicht wirklich, wie ich da weitermachen soll,
> > vielleicht hat ja jemand einen Tipp.
>
>
> Jetzt musst Du die partiellen Ableitungen
>
> [mm]\frac{\partial} {\partial t}\Phi\left(\xi(x,t)\right), \ \frac{\partial^2 }{\partial x^2}\Phi\left(\xi(x,t)\right)[/mm]
dann habe ich doch:
[mm] $\Leftrightarrow \frac{\partial} {\partial \xi}\Phi\frac{\partial} {\partial t}\xi+\frac{\alpha}{t}\cdot\Phi\left(\xi(x,t)\right)=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial} {\partial \xi}\Phi\frac{\partial} {\partial x}\xi\right)$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow \Phi'\cdot (-1/2)\frac{x}{t^{3/2}}+\frac{\alpha}{t}\cdot\Phi\left(\xi(x,t)\right)=\frac{\partial }{\partial x}\left( \Phi'\cdot t^{-1/2}\right)$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow \Phi'\cdot (-1/2)\frac{x}{t^{3/2}}+\frac{\alpha}{t}\cdot\Phi\left(\xi(x,t)\right)= t^{-1/2}\frac{\partial }{\partial \xi}\Phi'\frac{\partial }{\partial x}\xi$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow \Phi'\cdot (-1/2)\frac{x}{t^{3/2}}+\frac{\alpha}{t}\cdot\Phi\left(\xi(x,t)\right)= t^{-1}\Phi''$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow \Phi'\cdot (-1/2)\frac{x}{t^{1/2}}+\alpha\cdot\Phi\left(\xi(x,t)\right)= \Phi''$
[/mm]
und umgestellt
[mm] $\Leftrightarrow \alpha\Phi-\frac{1}{2}\xi\Phi'= \Phi''$
[/mm]
Müsste soweit passen, oder?
Vielen Dank und viele Grüße
Gregor
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Hallo grenife,
> > Hallo grenife,
> >
> > > > Hallo grenife,
> > > > Ja. das ist richtig.
> > > >
> > > > Dann lautet die Gleichung, die Du umzuformen hast:
> > > >
> > > > [mm]\frac{\partial} {\partial t}\left( \ t^{\alpha}*\Phi\left( \ \xi\left(x,t\right) \ \right)\ \right)=\frac{\partial^2 }{\partial x^2}\left( \ t^{\alpha}*\Phi\left (\ \xi\left(x,t\right) \ \right)\ \right)[/mm].
>
> >
> > >
> > > >
> > > Hallo Mathepower,
> > >
> > > vielen Dank für den Hinweis!
> > >
> > > Ich habe doch dann
> > > [mm]\frac{\partial} {\partial t}\left( \ t^{\alpha}*\Phi\left( \ \xi\left(x,t\right) \ \right)\ \right)=\frac{\partial^2 }{\partial x^2}\left( \ t^{\alpha}*\Phi\left (\ \xi\left(x,t\right) \ \right)\ \right)[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]\Leftrightarrow t^{\alpha}\cdot\frac{\partial} {\partial t}\Phi\left(\xi(x,t)\right)+\alpha t^{\alpha-1}\cdot\Phi\left(\xi(x,t)\right)=t^{\alpha}\frac{\partial^2 }{\partial x^2}\Phi\left(\xi(x,t)\right)[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]\Leftrightarrow \frac{\partial} {\partial t}\Phi\left(\xi(x,t)\right)+\frac{\alpha}{t}\cdot\Phi\left(\xi(x,t)\right)=\frac{\partial^2 }{\partial x^2}\Phi\left(\xi(x,t)\right)[/mm]
>
> >
> > >
> > > Sehe jetzt nicht wirklich, wie ich da weitermachen soll,
> > > vielleicht hat ja jemand einen Tipp.
> >
> >
> > Jetzt musst Du die partiellen Ableitungen
> >
> > [mm]\frac{\partial} {\partial t}\Phi\left(\xi(x,t)\right), \ \frac{\partial^2 }{\partial x^2}\Phi\left(\xi(x,t)\right)[/mm]
>
> dann habe ich doch:
> [mm]\Leftrightarrow \frac{\partial} {\partial \xi}\Phi\frac{\partial} {\partial t}\xi+\frac{\alpha}{t}\cdot\Phi\left(\xi(x,t)\right)=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial} {\partial \xi}\Phi\frac{\partial} {\partial x}\xi\right)[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow \Phi'\cdot (-1/2)\frac{x}{t^{3/2}}+\frac{\alpha}{t}\cdot\Phi\left(\xi(x,t)\right)=\frac{\partial }{\partial x}\left( \Phi'\cdot t^{-1/2}\right)[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow \Phi'\cdot (-1/2)\frac{x}{t^{3/2}}+\frac{\alpha}{t}\cdot\Phi\left(\xi(x,t)\right)= t^{-1/2}\frac{\partial }{\partial \xi}\Phi'\frac{\partial }{\partial x}\xi[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow \Phi'\cdot (-1/2)\frac{x}{t^{3/2}}+\frac{\alpha}{t}\cdot\Phi\left(\xi(x,t)\right)= t^{-1}\Phi''[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow \Phi'\cdot (-1/2)\frac{x}{t^{1/2}}+\alpha\cdot\Phi\left(\xi(x,t)\right)= \Phi''[/mm]
>
> und umgestellt
>
> [mm]\Leftrightarrow \alpha\Phi-\frac{1}{2}\xi\Phi'= \Phi''[/mm]
>
> Müsste soweit passen, oder?
Ja, das passt auch. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Vielen Dank und viele Grüße
> Gregor
>
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:35 Do 10.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du musst nich viel über PDGl wissen. einfach mit ketten und produktregel du/dt und [mm] d^2u/dx^2 [/mm] bilden, mit dem gegebenen u.
Gruss leduart
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