Wärmeleitungsgleichung, homoge < Matlab < Mathe-Software < Mathe < Vorhilfe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:40 Mi 03.02.2010 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Saskia,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Davon abgesehen, dass Deine verlinkte Datei überhaupt nicht erkennbar und entzifferbar ist ... bitte tippe die Aufgabenstellung hier direkt ein.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:05 Mi 03.02.2010 | | Autor: | Saskia86 |
hab das ganze noch einmal überarbeitet
gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:11 Mi 03.02.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo saskia!
Erstmal herzlich ![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
> ich hab folgendes Problem
>
> ich sitze zur zeit vor einer Übungsaufgabe aus dem Buch
> (Numerische Methoden in der Technik von Richard Mohr)
>
> Hier mal die Aufgabenstellung.
>
> http://img685.imageshack.us/img685/3679/mohr.jpg
>
> In Text Form
> Die Wäremleitung in einem langen,homogenen Zylinder
> (Radius 1) soll unterscuht werden. Auf der der Berandung
> sei eine nur von der Zeit abhängige Temperaturverteilung
> vorgegeben
>
> a) Folgern Sie aus der räumlichen Wäremeleitungsgleichung
>
> Uxx + Uyy + Uzz = Ut
>
> eine entsprechende Differentialgleichung für die
> rotationssymmetrische Lösung U(r,t).
>
> b) Mit den Anfangs- und Randbedingungen
>
> U(r,0) = 0
> U(1,t) = 0
>
> b1) f1(t) = e^(-t)-1
> b2) f2(t) = sin(4t)
>
> soll eine nummerische Lösung bestimmt werden.
>
>
>
>
>
> Leider habe ich mit dieser Art von Aufgaben keinerlei
> Erfahrung.
>
> habe hier zwar eine Lösung gefunden aber das hilft mir
> auch nicht wirklich...
> ![[]](/images/popup.gif) http://www2.hs-esslingen.de/~mohr/buch/mfiles/warmzyl.m
>
> es wäre toll wenn mir jemand von euch einmal das
> Grundprinzip dieser Aufgabe erläutert, so dass ich das
> ganze vieleicht mal verstehe.
Ich fange mal mit Teilaufgabe a) für die rotationssymmetrische DGL an.
Hier wird angenommen, die Lösung sei rotationssymmetrisch, habe also die Form $U(r,t)$. Das bedeutet, dass du die Ableitungen nach x,y,z durch Ableitungen nach r ausdrücken musst. Das ist ganz einfach, wenn du r als Funktion von x,y,z schreibst, [mm] $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ [/mm] und die Kettenregel benutzt. Zum Beispiel
[mm] \bruch{\partial}{\partial x} U(r(x,y,z),t) = \bruch{\partial}{\partial r} U(r,t) * \bruch{\partial r}{\partial x} [/mm] .
Nun ist
[mm] \bruch{\partial r}{\partial x} = \bruch{\partial}{\partial x} \sqrt{x^2+y^2+z^2} = \bruch{1}{2\sqrt{x^2+y^2+z^2}} * \bruch{\partial}{\partial x} (x^2+y^2+z^2) = \bruch{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} = \bruch{x}{r} [/mm] ,
und entsprechend [mm] \bruch{\partial r}{\partial x} = \bruch{y}{r} [/mm] und [mm] \bruch{\partial r}{\partial z} = \bruch{z}{r} [/mm] .
Diese Beziehungen solltest du dir merken, denn sie machen dir die Berechnung der höheren Ableitungen einfacher. Zum Beispiel ist
[mm] \bruch{\partial}{\partial x} \bruch{x}{r} = \bruch{1*r - r_x * x}{r^2} = \bruch{r - x^2/r}{r^2} = \bruch{r^2-x^2}{r^3} [/mm] .
Damit kannst du [mm] $U_{xx}(r,t)$, $U_{yy}(r,t)$ [/mm] und [mm] $U_{zz}(r,t)$ [/mm] durch die Ableitungen nach r ausdrücken. Du wirst sehen, dass am Schluss eine DGL übrigbleibt, in der kein einzelnes x,y,z mehr, sondern nur noch r und Ableitungen nach r stehen.
Wenn du diese DGL hast, können wir weiter machen.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:20 Do 04.02.2010 | | Autor: | Saskia86 |
Danke für deine Antwort.
Ich bin bislang soweit gekommen:
da [mm] \frac{\partial x}{\partial xr} [/mm] = [mm] \frac{r-r_x x}{r^2} [/mm] = [mm] \frac{r^2 - x^2}{r^3}
[/mm]
und
[mm] \frac{\partial r}{ \partial x} [/mm] = [mm] \frac{x}{r}
[/mm]
für y und z sieht es ja identisch aus und alle 3 eingesetzt in die wärmegleichung ergibt bei mir:
[mm] u_t [/mm] = [mm] \frac{r^2 - x^2 + r^2 - y^2 + r^2 - z^2}{r^3}
[/mm]
mit substitution [mm] u=\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}
[/mm]
u = [mm] r^2 [/mm] ergibt:
[mm] u_t [/mm] = [mm] \frac{3r^2 - r^2}{r^3} [/mm] = [mm] \frac{2}{3}
[/mm]
ist das soweit richtig?
Nun weiß ich allerdings nicht, wie ich weiter vorgehe.
Würde mich über weitere Hilfe freuen.
liebe Grüße
Saskia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:48 Do 04.02.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Saskia!
> Danke für deine Antwort.
> Ich bin bislang soweit gekommen:
>
> da [mm]\frac{\partial x}{\partial xr}[/mm] = [mm]\frac{r-r_x x}{r^2}[/mm] =
> [mm]\frac{r^2 - x^2}{r^3}[/mm]
>
> und
>
> [mm]\frac{\partial r}{ \partial x}[/mm] = [mm]\frac{x}{r}[/mm]
>
> für y und z sieht es ja identisch aus und alle 3
> eingesetzt in die wärmegleichung ergibt bei mir:
>
> [mm]u_t[/mm] = [mm]\frac{r^2 - x^2 + r^2 - y^2 + r^2 - z^2}{r^3}[/mm]
> mit
> substitution [mm]u=\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}[/mm]
> u = [mm]r^2[/mm] ergibt:
> [mm]u_t[/mm] = [mm]\frac{3r^2 - r^2}{r^3}[/mm] = [mm]\frac{2}{3}[/mm]
Da fehlt erst einmal noch ein r im Nenner.
Du hast das U vergessen, z.B.
[mm]U_{xx}(r,t) = \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial}{\partial x} U(r,t) = \frac{\partial}{\partial x} \left(\left(\frac{\partial}{\partial r}U(r,t) \right) \frac{x}{r}\right) [/mm].
Viele Grüße
Rainer
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